Номер 3.105, страница 146 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.105, страница 146.

Условие.

3.105 Составьте квадратное уравнение, корни которого:

a) на 2 меньше корней уравнения $x^2 - 187x + 148 = 0$;

b) на 3 больше корней уравнения $x^2 + 191x - 1250 = 0$.

Образец. a) Пусть $y_1$ и $y_2$ — корни уравнения, которое надо составить. Тогда

$y_1 = x_1 - 2, y_2 = x_2 - 2;$

$y_1 + y_2 = (x_1 + x_2) - 4,$

$y_1 \cdot y_2 = (x_1 - 2)(x_2 - 2) = x_1 \cdot x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4.$

Доведите решение до конца.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Требуется составить квадратное уравнение, корни которого $y_1$ и $y_2$ на 2 меньше корней $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 - 187x + 148 = 0$.

Сначала воспользуемся теоремой Виета для исходного уравнения $x^2 - 187x + 148 = 0$. Сумма и произведение его корней равны:
$x_1 + x_2 = -(-187) = 187$
$x_1 \cdot x_2 = 148$

Корни нового уравнения $y_1$ и $y_2$ связаны с корнями исходного уравнения следующим образом:
$y_1 = x_1 - 2$
$y_2 = x_2 - 2$

Найдем сумму и произведение новых корней.
Сумма новых корней:
$y_1 + y_2 = (x_1 - 2) + (x_2 - 2) = (x_1 + x_2) - 4 = 187 - 4 = 183$.
Произведение новых корней:
$y_1 \cdot y_2 = (x_1 - 2)(x_2 - 2) = x_1 \cdot x_2 - 2x_1 - 2x_2 + 4 = x_1 \cdot x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4 = 148 - 2(187) + 4 = 148 - 374 + 4 = -222$.

Новое квадратное уравнение можно записать в виде $y^2 - (y_1 + y_2)y + (y_1 \cdot y_2) = 0$. Подставив найденные значения суммы и произведения, получаем:
$y^2 - 183y - 222 = 0$.
Запишем уравнение, используя переменную $x$:
$x^2 - 183x - 222 = 0$.
Ответ: $x^2 - 183x - 222 = 0$.

б) Требуется составить квадратное уравнение, корни которого $y_1$ и $y_2$ на 3 больше корней $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 + 191x - 1250 = 0$.

Применим теорему Виета для исходного уравнения $x^2 + 191x - 1250 = 0$:
$x_1 + x_2 = -191$
$x_1 \cdot x_2 = -1250$

Корни нового уравнения $y_1$ и $y_2$ связаны с корнями исходного уравнения следующим образом:
$y_1 = x_1 + 3$
$y_2 = x_2 + 3$

Найдем сумму и произведение новых корней.
Сумма новых корней:
$y_1 + y_2 = (x_1 + 3) + (x_2 + 3) = (x_1 + x_2) + 6 = -191 + 6 = -185$.
Произведение новых корней:
$y_1 \cdot y_2 = (x_1 + 3)(x_2 + 3) = x_1 \cdot x_2 + 3x_1 + 3x_2 + 9 = x_1 \cdot x_2 + 3(x_1 + x_2) + 9 = -1250 + 3(-191) + 9 = -1250 - 573 + 9 = -1814$.

Новое квадратное уравнение имеет вид $y^2 - (y_1 + y_2)y + (y_1 \cdot y_2) = 0$. Подставим найденные значения:
$y^2 - (-185)y + (-1814) = 0$
$y^2 + 185y - 1814 = 0$.
Запишем уравнение, используя переменную $x$:
$x^2 + 185x - 1814 = 0$.
Ответ: $x^2 + 185x - 1814 = 0$.