Номер 3.92, страница 143 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.92, страница 143.

Условие.

3.92 Все данные уравнения имеют корни. В каждом случае объясните, почему уравнение имеет корни одинаковых знаков, и определите знаки корней:

а) $x^2 + 3x + 2 = 0;$

б) $x^2 - 3x + 2 = 0;$

в) $x^2 - 5x + 4 = 0;$

г) $x^2 + 5x + 4 = 0;$

д) $x^2 - 6x + 8 = 0;$

е) $x^2 + 8x + 7 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для определения знаков корней квадратных уравнений воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, имеющего корни $x_1$ и $x_2$, выполняются следующие соотношения:

• $x_1 + x_2 = -p$ (сумма корней)
• $x_1 \cdot x_2 = q$ (произведение корней)

Корни имеют одинаковые знаки, если их произведение положительно ($x_1 \cdot x_2 > 0$). Во всех предложенных уравнениях свободный член $q$ (или $c$ в общем виде) положителен, поэтому их корни имеют одинаковые знаки. Знак самих корней можно определить по знаку их суммы.

а) В уравнении $x^2 + 3x + 2 = 0$ свободный член $q=2$, а коэффициент при $x$ равен $p=3$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 2$. Так как $2 > 0$, корни имеют одинаковые знаки.
Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -3$. Так как сумма корней отрицательна, то оба корня отрицательные.
Ответ: оба корня отрицательные.

б) В уравнении $x^2 - 3x + 2 = 0$ свободный член $q=2$, а коэффициент при $x$ равен $p=-3$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 2$. Так как $2 > 0$, корни имеют одинаковые знаки.
Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -(-3) = 3$. Так как сумма корней положительна, то оба корня положительные.
Ответ: оба корня положительные.

в) В уравнении $x^2 - 5x + 4 = 0$ свободный член $q=4$, а коэффициент при $x$ равен $p=-5$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 4$. Так как $4 > 0$, корни имеют одинаковые знаки.
Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -(-5) = 5$. Так как сумма корней положительна, то оба корня положительные.
Ответ: оба корня положительные.

г) В уравнении $x^2 + 5x + 4 = 0$ свободный член $q=4$, а коэффициент при $x$ равен $p=5$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 4$. Так как $4 > 0$, корни имеют одинаковые знаки.
Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -5$. Так как сумма корней отрицательна, то оба корня отрицательные.
Ответ: оба корня отрицательные.

д) В уравнении $x^2 - 6x + 8 = 0$ свободный член $q=8$, а коэффициент при $x$ равен $p=-6$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 8$. Так как $8 > 0$, корни имеют одинаковые знаки.
Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -(-6) = 6$. Так как сумма корней положительна, то оба корня положительные.
Ответ: оба корня положительные.

е) В уравнении $x^2 + 8x + 7 = 0$ свободный член $q=7$, а коэффициент при $x$ равен $p=8$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 7$. Так как $7 > 0$, корни имеют одинаковые знаки.
Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -8$. Так как сумма корней отрицательна, то оба корня отрицательные.
Ответ: оба корня отрицательные.