Номер 3, страница 143 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Теорема Виета. Вопросы к параграфу. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3, страница 143.

Условие.

Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета (фрагмент 2). Найдите подбором корни уравнения $x^2 + 2x - 15 = 0$.

Решение 3.

Решение 4.

Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета (фрагмент 2).

Теорема, обратная теореме Виета, позволяет по двум числам определить, являются ли они корнями некоторого приведенного квадратного уравнения. Она широко применяется для подбора корней таких уравнений, а также для составления квадратного уравнения по заданным корням.

Ответ: Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что их сумма $x_1 + x_2 = -p$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = q$, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Найдите подбором корни уравнения $x^2 + 2x - 15 = 0$.

Данное уравнение $x^2 + 2x - 15 = 0$ является приведенным квадратным уравнением. Его коэффициенты равны: $p = 2$ и $q = -15$.
Для нахождения корней подбором воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета. Согласно этой теореме, для корней $x_1$ и $x_2$ должны выполняться два условия:
1. Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -p = -2$.
2. Произведение корней равно свободному члену: $x_1 \cdot x_2 = q = -15$.
Теперь необходимо найти два числа, которые удовлетворяют этим двум условиям. Так как их произведение равно -15 (отрицательное число), то корни должны иметь разные знаки. Рассмотрим целочисленные пары множителей числа -15 и проверим их сумму:
- Пара 1 и -15: сумма $1 + (-15) = -14$. Не подходит.
- Пара -1 и 15: сумма $-1 + 15 = 14$. Не подходит.
- Пара 3 и -5: сумма $3 + (-5) = -2$. Эта пара подходит, так как удовлетворяет обоим условиям.
- Пара -3 и 5: сумма $-3 + 5 = 2$. Не подходит.
Таким образом, мы нашли корни уравнения.

Ответ: Корнями уравнения являются числа 3 и -5.