Номер 3.91, страница 143 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.91, страница 143.

Условие.

3.91 Не решая уравнения, укажите, имеет ли оно корни и чему равны произведение и сумма его корней:

а) $x^2 - 14x + 40 = 0;$

б) $x^2 + 16x + 15 = 0;$

в) $x^2 - 2x - 1 = 0;$

г) $2x^2 - 5x - 3 = 0;$

д) $4x^2 + 16x + 15 = 0;$

е) $3x^2 + 11x - 4 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения этой задачи мы будем использовать два ключевых инструмента для анализа квадратных уравнений вида $ax^2 + bx + c = 0$ без нахождения самих корней: дискриминант и теорему Виета.

1. Наличие корней определяется по знаку дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень. Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

2. Сумма и произведение корней (если они существуют, т.е. $D \ge 0$) находятся по теореме Виета: Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

---

а) $x^2 - 14x + 40 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, где коэффициенты $a=1$, $b=-14$, $c=40$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 196 - 160 = 36$.

Поскольку $D = 36 > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

По теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{-14}{1} = 14$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{40}{1} = 40$.

Ответ: уравнение имеет два корня; сумма корней равна 14, произведение корней равно 40.

б) $x^2 + 16x + 15 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=16$, $c=15$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 256 - 60 = 196$.

Поскольку $D = 196 > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

По теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{16}{1} = -16$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{15}{1} = 15$.

Ответ: уравнение имеет два корня; сумма корней равна -16, произведение корней равно 15.

в) $x^2 - 2x - 1 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, где $a=1$, $b=-2$, $c=-1$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.

Поскольку $D = 8 > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

По теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{-2}{1} = 2$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{-1}{1} = -1$.

Ответ: уравнение имеет два корня; сумма корней равна 2, произведение корней равно -1.

г) $2x^2 - 5x - 3 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=2$, $b=-5$, $c=-3$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.

Поскольку $D = 49 > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

По теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{-5}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{-3}{2} = -1.5$.

Ответ: уравнение имеет два корня; сумма корней равна $\frac{5}{2}$, произведение корней равно $-\frac{3}{2}$.

д) $4x^2 + 16x + 15 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=4$, $b=16$, $c=15$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15 = 256 - 240 = 16$.

Поскольку $D = 16 > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

По теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{16}{4} = -4$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{15}{4} = 3.75$.

Ответ: уравнение имеет два корня; сумма корней равна -4, произведение корней равно $\frac{15}{4}$.

е) $3x^2 + 11x - 4 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=3$, $b=11$, $c=-4$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169$.

Поскольку $D = 169 > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

По теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{11}{3}$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{-4}{3} = -\frac{4}{3}$.

Ответ: уравнение имеет два корня; сумма корней равна $-\frac{11}{3}$, произведение корней равно $-\frac{4}{3}$.