Номер 2, страница 143 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Теорема Виета. Вопросы к параграфу. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 2, страница 143.

Условие.

Как, используя формулы Виета, найти сумму и произведение корней неприведенного квадратного уравнения? Запишите соответствующие формулы (фрагмент 1). Убедитесь, что уравнение $2x^2 - 7x + 3 = 0$ имеет корни, и найдите их сумму и произведение.

Решение 3.

Решение 4.

Формулы Виета для неприведённого квадратного уравнения

Для неприведённого квадратного уравнения, которое имеет общий вид $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a \neq 0$ и $a \neq 1$), сумму и произведение корней можно найти с помощью обобщённых формул Виета. Если уравнение имеет корни $x_1$ и $x_2$, то их связь с коэффициентами $a$, $b$ и $c$ выражается следующими формулами:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Эти формулы позволяют вычислить сумму и произведение корней без необходимости находить сами корни. Важно помнить, что эти формулы применимы только в том случае, если уравнение действительно имеет корни (то есть его дискриминант $D \ge 0$).

Ответ: Сумма корней находится по формуле $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, а произведение корней — по формуле $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

Проверка и нахождение суммы и произведения корней для уравнения $2x^2 - 7x + 3 = 0$

Рассмотрим заданное уравнение $2x^2 - 7x + 3 = 0$.

1. Убедимся, что уравнение имеет корни.
Для этого вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$. Коэффициенты данного уравнения: $a = 2$, $b = -7$, $c = 3$.

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$

Так как дискриминант $D = 25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Найдем сумму и произведение корней.
Теперь применим формулы Виета, используя найденные коэффициенты:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-7}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: Уравнение имеет корни, так как его дискриминант положителен ($D=25$). Сумма корней равна $\frac{7}{2}$ (или 3,5), а произведение корней равно $\frac{3}{2}$ (или 1,5).