Номер 3.86, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Неполные квадратные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.86, страница 139.

Условие.

АНАЛИЗИРУЕМ (3.86–3.87)

3.86 Имеет ли решение неполное квадратное уравнение $ax^2 + c = 0$, если:

а) $a > 0, c > 0$;

б) $a > 0, c < 0$;

в) $a < 0, c > 0$;

г) $a < 0, c < 0?$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Рассмотрим неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$. Чтобы найти его решение, преобразуем уравнение, выразив $x^2$:

$ax^2 = -c$

$x^2 = -\frac{c}{a}$

Данное уравнение имеет действительные решения только в том случае, если правая часть этого равенства, то есть выражение $-\frac{c}{a}$, является неотрицательным числом ($-\frac{c}{a} \ge 0$). Это условие эквивалентно неравенству $\frac{c}{a} \le 0$.

Поскольку в условиях задачи $a \ne 0$ и $c \ne 0$ (исходя из строгих неравенств), для существования решений необходимо, чтобы $\frac{c}{a} < 0$. Это означает, что коэффициенты $a$ и $c$ должны иметь разные знаки.

Проанализируем каждый из предложенных случаев.

а) $a > 0, c > 0$

Коэффициенты $a$ и $c$ имеют одинаковые знаки (оба положительные). Следовательно, их отношение $\frac{c}{a} > 0$. Тогда выражение для $x^2$ будет отрицательным:

$x^2 = -\frac{c}{a} < 0$

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: нет, не имеет.

б) $a > 0, c < 0$

Коэффициенты $a$ и $c$ имеют разные знаки. Следовательно, их отношение $\frac{c}{a} < 0$. Тогда выражение для $x^2$ будет положительным:

$x^2 = -\frac{c}{a} > 0$

Уравнение имеет два действительных корня: $x = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$.

Ответ: да, имеет.

в) $a < 0, c > 0$

Коэффициенты $a$ и $c$ имеют разные знаки. Следовательно, их отношение $\frac{c}{a} < 0$. Тогда выражение для $x^2$ будет положительным:

$x^2 = -\frac{c}{a} > 0$

Уравнение имеет два действительных корня: $x = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$.

Ответ: да, имеет.

г) $a < 0, c < 0$

Коэффициенты $a$ и $c$ имеют одинаковые знаки (оба отрицательные). Следовательно, их отношение $\frac{c}{a} > 0$. Тогда выражение для $x^2$ будет отрицательным:

$x^2 = -\frac{c}{a} < 0$

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: нет, не имеет.