Номер 3.85, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Неполные квадратные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.85, страница 139.

Условие.

3.85 Решите неполное квадратное уравнение:

а) $ax^2 + ax = 0$;

б) $ax^2 - x = 0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Дано неполное квадратное уравнение $ax^2 + ax = 0$.
Для решения вынесем общий множитель $ax$ за скобки:
$ax(x + 1) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:
$ax = 0$ или $x + 1 = 0$.
Рассмотрим решение в зависимости от значения параметра $a$:
1. Если $a = 0$, исходное уравнение принимает вид $0 \cdot x^2 + 0 \cdot x = 0$, или $0 = 0$. Это равенство верно для любого значения $x$. Следовательно, корнем уравнения является любое действительное число.
2. Если $a \ne 0$, то из первого уравнения $ax = 0$ следует, что $x_1 = 0$. Из второго уравнения $x + 1 = 0$ следует, что $x_2 = -1$.
Ответ: если $a = 0$, то $x$ - любое число; если $a \ne 0$, то $x_1 = 0, x_2 = -1$.

б) Дано неполное квадратное уравнение $ax^2 - x = 0$.
Для решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(ax - 1) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:
$x = 0$ или $ax - 1 = 0$.
Первый корень уравнения $x_1 = 0$ не зависит от параметра $a$.
Рассмотрим второе уравнение $ax - 1 = 0$ (или $ax = 1$) в зависимости от значения параметра $a$:
1. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 1$, что является неверным равенством и не имеет решений. В этом случае исходное уравнение становится $0 \cdot x^2 - x = 0$, откуда $-x = 0$, то есть $x=0$. Таким образом, при $a=0$ уравнение имеет только один корень.
2. Если $a \ne 0$, то из уравнения $ax = 1$ мы можем выразить $x$, получив второй корень: $x_2 = \frac{1}{a}$.
Ответ: если $a = 0$, то $x = 0$; если $a \ne 0$, то $x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{a}$.