Номер 3.88, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Неполные квадратные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.88, страница 139.

Условие.

3.88 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

При решении задачи из п. 3.4 было составлено уравнение $(39 - 2x)(24 - 2x) = 700$, которое при решении свелось к полному квадратному уравнению с большими коэффициентами. Однако его можно свести и к неполному квадратному уравнению с помощью замены $y = 4 - 2x$. Действительно, эта замена приведёт к тому, что «уничтожится» число 700 — правая часть уравнения:

$(39 - 2x)(24 - 2x) = (35 + (4 - 2x))(20 + (4 - 2x)) =$

$= (35 + y)(20 + y).$

Получаем

$(y + 35)(y + 20) = 700,$

$y^2 + 55y + 700 = 700,$

$y^2 + 55y = 0.$

Решите уравнение, используя замену, приводящую к неполному квадратному уравнению:

а) $(9 - 3x)(46 - 3x) = 120;$

б) $(5x - 63)(5x - 18) = 550.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $(9 - 3x)(46 - 3x) = 120$

Данное уравнение имеет вид $(c_1 - kx)(c_2 - kx) = C$. Чтобы свести его к неполному квадратному уравнению, как показано в примере, введем замену переменной. Пусть новой переменной $y$ будет выражение, которое позволит нам "уничтожить" свободный член после раскрытия скобок.

Обозначим $t = -3x$. Тогда уравнение примет вид $(9 + t)(46 + t) = 120$. Произведение свободных членов слева равно $9 \cdot 46 = 414$, а справа стоит $120$. Чтобы свести к неполному квадратному уравнению, сделаем замену $y$ таким образом, чтобы произведение новых свободных членов было равно $120$.

Пусть $9-3x = u$ и $46-3x = v$. Ищем замену вида $y = \frac{u+v}{2} = \frac{(9-3x)+(46-3x)}{2} = \frac{55-6x}{2}$. Тогда $u = y - \frac{v-u}{2} = y - \frac{37}{2}$ и $v = y + \frac{v-u}{2} = y + \frac{37}{2}$. Уравнение $(y - \frac{37}{2})(y + \frac{37}{2}) = 120$ сведется к $y^2 - (\frac{37}{2})^2=120$. Это не тот тип неполного уравнения, что в примере.

Воспользуемся методом из примера. Введем замену $y = A - 3x$. Тогда:
$9 - 3x = (9 - A) + (A - 3x) = (9 - A) + y$
$46 - 3x = (46 - A) + (A - 3x) = (46 - A) + y$

Уравнение примет вид: $(y + (9 - A))(y + (46 - A)) = 120$.
Раскрыв скобки, получим: $y^2 + (9 - A + 46 - A)y + (9 - A)(46 - A) = 120$.
Чтобы уравнение стало неполным (вида $ay^2+by=0$), необходимо, чтобы свободный член слева был равен свободному члену справа:
$(9 - A)(46 - A) = 120$
$A^2 - 46A - 9A + 414 = 120$
$A^2 - 55A + 294 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $A$:
$D = (-55)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 294 = 3025 - 1176 = 1849 = 43^2$
$A_1 = \frac{55 - 43}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$A_2 = \frac{55 + 43}{2} = \frac{98}{2} = 49$

Выберем любое значение, например, $A=6$. Тогда замена: $y = 6 - 3x$.
Подставим эту замену в исходное уравнение, выразив старые скобки через $y$:
$(9 - 3x) = (3 + 6 - 3x) = 3 + y$
$(46 - 3x) = (40 + 6 - 3x) = 40 + y$

Получим уравнение: $(y + 3)(y + 40) = 120$.
Раскроем скобки и решим его:
$y^2 + 40y + 3y + 120 = 120$
$y^2 + 43y = 0$
$y(y + 43) = 0$

Отсюда получаем два значения для $y$: $y_1 = 0$ или $y_2 = -43$.

Сделаем обратную замену для нахождения $x$:
1) Если $y_1 = 0$, то $6 - 3x = 0 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x_1 = 2$.
2) Если $y_2 = -43$, то $6 - 3x = -43 \Rightarrow 3x = 6 + 43 \Rightarrow 3x = 49 \Rightarrow x_2 = \frac{49}{3}$.

Ответ: $2; \frac{49}{3}$.

б) $(5x - 63)(5x - 18) = 550$

Уравнение имеет вид $(kx - c_1)(kx - c_2) = C$. Введем замену $y = kx - A$. В нашем случае $kx = 5x$, поэтому замена будет иметь вид $y = 5x - A$.

Выразим скобки через $y$:
$5x - 63 = (5x - A) - 63 + A = y - (63 - A)$
$5x - 18 = (5x - A) - 18 + A = y - (18 - A)$

Чтобы уравнение свелось к неполному, произведение новых свободных членов должно равняться $550$:
$(63 - A)(18 - A) = 550$
$A^2 - 18A - 63A + 1134 = 550$
$A^2 - 81A + 584 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $A$:
$D = (-81)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 584 = 6561 - 2336 = 4225 = 65^2$
$A_1 = \frac{81 - 65}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$A_2 = \frac{81 + 65}{2} = \frac{146}{2} = 73$

Выберем $A=8$. Тогда замена: $y = 5x - 8$.
Подставим эту замену в исходное уравнение:
$(5x - 63) = (5x - 8 - 55) = y - 55$
$(5x - 18) = (5x - 8 - 10) = y - 10$

Получим уравнение: $(y - 55)(y - 10) = 550$.
Раскроем скобки и решим его:
$y^2 - 10y - 55y + 550 = 550$
$y^2 - 65y = 0$
$y(y - 65) = 0$

Отсюда получаем два значения для $y$: $y_1 = 0$ или $y_2 = 65$.

Сделаем обратную замену для нахождения $x$:
1) Если $y_1 = 0$, то $5x - 8 = 0 \Rightarrow 5x = 8 \Rightarrow x_1 = \frac{8}{5} = 1,6$.
2) Если $y_2 = 65$, то $5x - 8 = 65 \Rightarrow 5x = 73 \Rightarrow x_2 = \frac{73}{5} = 14,6$.

Ответ: $1,6; 14,6$.