Номер 3.89, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Неполные квадратные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.89, страница 140.

Условие.

Решите задачу (3.89–3.90).

3.89 а) Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел на 19 больше удвоенного меньшего из них. Найдите эти числа.

б) Сумма квадратов двух последовательных положительных чётных чисел на 72 больше удвоенной суммы этих чисел. Найдите эти числа.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Пусть меньшее из двух последовательных натуральных чисел равно $n$. Тогда следующее за ним натуральное число будет $n+1$. По условию, числа натуральные, значит $n \in \mathbb{N}$, то есть $n \ge 1$.

Сумма квадратов этих чисел равна $n^2 + (n+1)^2$.

Удвоенное меньшее из этих чисел равно $2n$.

Согласно условию задачи, сумма квадратов на 19 больше удвоенного меньшего числа. Составим уравнение:

$n^2 + (n+1)^2 = 2n + 19$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$n^2 + n^2 + 2n + 1 = 2n + 19$

$2n^2 + 2n + 1 = 2n + 19$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$2n^2 + 2n - 2n + 1 - 19 = 0$

$2n^2 - 18 = 0$

$2n^2 = 18$

$n^2 = 9$

Отсюда получаем два возможных значения для $n$: $n_1 = 3$ и $n_2 = -3$.

Так как по условию числа натуральные, корень $n_2 = -3$ не подходит. Следовательно, меньшее число равно 3.

Тогда второе число равно $n+1 = 3+1 = 4$.

Проверим найденные числа:

Сумма их квадратов: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

Удвоенное меньшее число: $2 \cdot 3 = 6$.

Разница между суммой квадратов и удвоенным меньшим числом: $25 - 6 = 19$. Это соответствует условию задачи.

Ответ: 3 и 4.

б)

Пусть меньшее из двух последовательных положительных чётных чисел равно $2k$, где $k$ — натуральное число ($k \in \mathbb{N}$). Тогда следующее за ним чётное число будет $2k+2$.

Сумма квадратов этих чисел равна $(2k)^2 + (2k+2)^2$.

Сумма этих чисел равна $2k + (2k+2) = 4k+2$.

Удвоенная сумма этих чисел равна $2(4k+2) = 8k+4$.

По условию задачи, сумма квадратов на 72 больше удвоенной суммы этих чисел. Составим уравнение:

$(2k)^2 + (2k+2)^2 = (8k+4) + 72$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$4k^2 + (4k^2 + 8k + 4) = 8k + 76$

$8k^2 + 8k + 4 = 8k + 76$

Перенесем все члены в левую часть:

$8k^2 + 8k - 8k + 4 - 76 = 0$

$8k^2 - 72 = 0$

$8k^2 = 72$

$k^2 = 9$

Отсюда $k_1 = 3$ и $k_2 = -3$.

Так как числа по условию положительные, то $2k > 0$, следовательно $k > 0$. Поэтому корень $k_2 = -3$ не подходит.

Значит, $k=3$. Найдем искомые числа:

Первое число: $2k = 2 \cdot 3 = 6$.

Второе число: $2k+2 = 2 \cdot 3 + 2 = 8$.

Проверим найденные числа:

Сумма их квадратов: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.

Сумма чисел: $6+8=14$.

Удвоенная сумма чисел: $2 \cdot 14 = 28$.

Разница между суммой квадратов и удвоенной суммой чисел: $100 - 28 = 72$. Это соответствует условию задачи.

Ответ: 6 и 8.