Номер 3.87, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Неполные квадратные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.87, страница 139.

Условие.

3.87 Один из корней неполного квадратного уравнения $ax^2 + bx = 0$ равен 0. Определите знак другого корня, если:

а) $a > 0, b > 0$;

б) $a > 0, b < 0$;

в) $a < 0, b > 0$;

г) $a < 0, b < 0$.

Каждый случай проиллюстрируйте конкретным примером.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Рассмотрим неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx = 0$. Поскольку это квадратное уравнение, коэффициент $a$ не равен нулю ($a \neq 0$). Для нахождения корней вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(ax + b) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня уравнения:

$x_1 = 0$

или

$ax + b = 0$

Из второго уравнения находим второй корень, $x_2$:

$ax = -b$

$x_2 = -b/a$

Как видим, один из корней действительно всегда равен 0. Знак второго корня $x_2$ зависит от знаков коэффициентов $a$ и $b$. Проанализируем каждый случай.

а) $a > 0$, $b > 0$

В этом случае оба коэффициента $a$ и $b$ положительны. Тогда их частное $b/a$ также будет положительным. Второй корень $x_2 = -b/a$ будет иметь знак минус перед положительным числом, следовательно, $x_2$ будет отрицательным.

Пример: Пусть $a = 3$ и $b = 12$. Уравнение примет вид $3x^2 + 12x = 0$.

$3x(x + 4) = 0$

Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -4$. Второй корень отрицательный.

Ответ: другой корень отрицательный.

б) $a > 0$, $b < 0$

В этом случае коэффициент $a$ положителен, а $b$ отрицателен. Их частное $b/a$ будет отрицательным (отрицательное/положительное = отрицательное). Второй корень $x_2 = -b/a$ будет иметь знак минус перед отрицательным числом, что в результате даст положительное число.

Пример: Пусть $a = 5$ и $b = -10$. Уравнение примет вид $5x^2 - 10x = 0$.

$5x(x - 2) = 0$

Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$. Второй корень положительный.

Ответ: другой корень положительный.

в) $a < 0$, $b > 0$

В этом случае коэффициент $a$ отрицателен, а $b$ положителен. Их частное $b/a$ будет отрицательным (положительное/отрицательное = отрицательное). Второй корень $x_2 = -b/a$ будет иметь знак минус перед отрицательным числом, что даст положительное число.

Пример: Пусть $a = -2$ и $b = 8$. Уравнение примет вид $-2x^2 + 8x = 0$.

$-2x(x - 4) = 0$

Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$. Второй корень положительный.

Ответ: другой корень положительный.

г) $a < 0$, $b < 0$

В этом случае оба коэффициента $a$ и $b$ отрицательны. Их частное $b/a$ будет положительным (отрицательное/отрицательное = положительное). Второй корень $x_2 = -b/a$ будет иметь знак минус перед положительным числом, следовательно, $x_2$ будет отрицательным.

Пример: Пусть $a = -4$ и $b = -20$. Уравнение примет вид $-4x^2 - 20x = 0$.

$-4x(x + 5) = 0$

Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -5$. Второй корень отрицательный.

Ответ: другой корень отрицательный.