Номер 3.94, страница 143 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.94, страница 143.

Условие.

3.94 Не применяя формулу корней, найдите второй корень уравнения, если известен первый:

а) $x^2 - 7x + 10 = 0$, $x_1 = 2;

б) $x^2 + 8x + 15 = 0$, $x_1 = -3;

в) $x^2 + 3x - 18 = 0$, $x_1 = 3;

г) $x^2 - 6x - 7 = 0$, $x_1 = 7.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения данной задачи, не прибегая к формуле корней квадратного уравнения, можно воспользоваться теоремой Виета. Для приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, где $x_1$ и $x_2$ — его корни, справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

Зная один корень, мы можем легко найти второй, используя любое из этих двух равенств. Наиболее удобно, как правило, использовать формулу для произведения корней.

а) Дано уравнение $x^2 - 7x + 10 = 0$ и один из его корней $x_1 = 2$.

Здесь коэффициенты $p = -7$ и $q = 10$.

Согласно теореме Виета, произведение корней равно свободному члену: $x_1 \cdot x_2 = q$.

Подставим известные значения:

$2 \cdot x_2 = 10$

Отсюда находим второй корень $x_2$:

$x_2 = \frac{10}{2} = 5$

Для проверки можно использовать вторую формулу Виета: $x_1 + x_2 = 2 + 5 = 7$. В уравнении коэффициент при $x$ равен $-7$, значит, $-p = -(-7) = 7$. Соотношение выполняется.

Ответ: $x_2 = 5$.

б) Дано уравнение $x^2 + 8x + 15 = 0$ и один из его корней $x_1 = -3$.

Здесь коэффициенты $p = 8$ и $q = 15$.

Используем формулу произведения корней: $x_1 \cdot x_2 = q$.

Подставим известные значения:

$(-3) \cdot x_2 = 15$

Находим второй корень $x_2$:

$x_2 = \frac{15}{-3} = -5$

Проверка по сумме корней: $x_1 + x_2 = -3 + (-5) = -8$. В уравнении $-p = -8$. Соотношение выполняется.

Ответ: $x_2 = -5$.

в) Дано уравнение $x^2 + 3x - 18 = 0$ и один из его корней $x_1 = 3$.

Здесь коэффициенты $p = 3$ и $q = -18$.

Используем формулу произведения корней: $x_1 \cdot x_2 = q$.

Подставим известные значения:

$3 \cdot x_2 = -18$

Находим второй корень $x_2$:

$x_2 = \frac{-18}{3} = -6$

Проверка по сумме корней: $x_1 + x_2 = 3 + (-6) = -3$. В уравнении $-p = -3$. Соотношение выполняется.

Ответ: $x_2 = -6$.

г) Дано уравнение $x^2 - 6x - 7 = 0$ и один из его корней $x_1 = 7$.

Здесь коэффициенты $p = -6$ и $q = -7$.

Используем формулу произведения корней: $x_1 \cdot x_2 = q$.

Подставим известные значения:

$7 \cdot x_2 = -7$

Находим второй корень $x_2$:

$x_2 = \frac{-7}{7} = -1$

Проверка по сумме корней: $x_1 + x_2 = 7 + (-1) = 6$. В уравнении $-p = -(-6) = 6$. Соотношение выполняется.

Ответ: $x_2 = -1$.