Номер 3.75, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Неполные квадратные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.75, страница 138.

Условие.

3.75 Найдите корни уравнения:

а) $x^3 - x = 0;$

б) $x^3 + 4x^2 = 0;$

в) $9x^3 - x = 0;$

г) $2x^2 + 4x^3 = 0;$

д) $-10x^2 + 2x^3 = 0;$

е) $2x + 18x^3 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $x^3 - x = 0$

Для решения данного уравнения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:

1) $x_1 = 0$

2) $x^2 - 1 = 0$

Решим второе уравнение. Это формула разности квадратов:

$(x - 1)(x + 1) = 0$

Отсюда $x - 1 = 0$ или $x + 1 = 0$.

$x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

Уравнение имеет три корня: -1, 0 и 1.

Ответ: $-1; 0; 1$.

б) $x^3 + 4x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x + 4) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x^2 = 0 \Rightarrow x_1 = 0$

2) $x + 4 = 0 \Rightarrow x_2 = -4$

Уравнение имеет два корня: -4 и 0.

Ответ: $-4; 0$.

в) $9x^3 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(9x^2 - 1) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x_1 = 0$

2) $9x^2 - 1 = 0$

Решим второе уравнение:

$9x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{9}$

$x_2 = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$, $x_3 = -\sqrt{\frac{1}{9}} = -\frac{1}{3}$

Уравнение имеет три корня: $-\frac{1}{3}$, 0 и $\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}; 0; \frac{1}{3}$.

г) $2x^2 + 4x^3 = 0$

Вынесем общий множитель $2x^2$ за скобки:

$2x^2(1 + 2x) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $2x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x_1 = 0$

2) $1 + 2x = 0 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x_2 = -\frac{1}{2}$

Уравнение имеет два корня: $-\frac{1}{2}$ и 0.

Ответ: $-\frac{1}{2}; 0$.

д) $-10x^2 + 2x^3 = 0$

Поменяем слагаемые местами и вынесем общий множитель $2x^2$ за скобки:

$2x^3 - 10x^2 = 0$

$2x^2(x - 5) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $2x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x_1 = 0$

2) $x - 5 = 0 \Rightarrow x_2 = 5$

Уравнение имеет два корня: 0 и 5.

Ответ: $0; 5$.

е) $2x + 18x^3 = 0$

Поменяем слагаемые местами и вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$18x^3 + 2x = 0$

$2x(9x^2 + 1) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $2x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$

2) $9x^2 + 1 = 0$

Решим второе уравнение:

$9x^2 = -1$

$x^2 = -\frac{1}{9}$

Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$).

Следовательно, исходное уравнение имеет только один корень.

Ответ: $0$.