Номер 15, страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя (тест). Глава 3. Квадратные уравнения - номер 15, страница 157.

Условие.

15 Разложите, если возможно, на множители квадратный трёхчлен

$2x^2 + 15x + 25.$

1) это невозможно

2) $(x + 5)(2x + 5)$

3) $(x + 5)(x + 2,5)$

4) $2(x + 5)(x + 0,5)$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы разложить квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ на множители, необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Если $x_1$ и $x_2$ — это корни, то разложение на множители будет иметь вид $a(x - x_1)(x - x_2)$.

Для трёхчлена $2x^2 + 15x + 25$ составим и решим квадратное уравнение: $2x^2 + 15x + 25 = 0$

Здесь коэффициенты $a = 2$, $b = 15$, $c = 25$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$: $D = 15^2 - 4 \cdot 2 \cdot 25 = 225 - 200 = 25$

Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, а значит, трёхчлен можно разложить на множители.

Найдём корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-15 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-15 - 5}{4} = \frac{-20}{4} = -5$

$x_2 = \frac{-15 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-15 + 5}{4} = \frac{-10}{4} = -2,5$

Теперь подставим коэффициент $a = 2$ и найденные корни $x_1 = -5$ и $x_2 = -2,5$ в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$: $2(x - (-5))(x - (-2,5)) = 2(x + 5)(x + 2,5)$

Для того чтобы привести полученное выражение к виду, предложенному в вариантах ответа, умножим множитель 2 на вторую скобку $(x + 2,5)$: $2(x + 5)(x + 2,5) = (x + 5) \cdot 2(x + 2,5) = (x + 5)(2x + 5)$

Полученное выражение $(x + 5)(2x + 5)$ соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: 2) $(x + 5)(2x + 5)$