Номер 8, страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя (тест). Глава 3. Квадратные уравнения - номер 8, страница 157.

Условие.

8 При каких значениях $a$ и $c$ уравнение $ax^2 + c = 0$ не имеет решения?

1) $a > 0, c = 0$

2) $a > 0, c < 0$

3) $a < 0, c < 0$

4) $a < 0, c > 0$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для ответа на вопрос, при каких значениях $a$ и $c$ уравнение $ax^2 + c = 0$ не имеет решений, преобразуем данное уравнение. Предполагая, что $a \neq 0$ (что верно для всех вариантов), выразим $x^2$:

$ax^2 = -c$

$x^2 = -\frac{c}{a}$

Уравнение не имеет действительных решений, если выражение в правой части отрицательно, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$). Таким образом, для отсутствия решений должно выполняться условие:

$-\frac{c}{a} < 0$

Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства:

$\frac{c}{a} > 0$

Это неравенство истинно, когда $a$ и $c$ имеют одинаковые знаки (оба положительны или оба отрицательны). Проверим предложенные варианты на соответствие этому условию.

1) $a > 0, c = 0$

Подставляем значения в исходное уравнение: $ax^2 + 0 = 0$, или $ax^2 = 0$. Так как $a>0$, уравнение имеет единственный корень $x=0$.

Ответ: уравнение имеет решение.

2) $a > 0, c < 0$

Значения $a$ и $c$ имеют разные знаки. Следовательно, $\frac{c}{a} < 0$. Условие отсутствия решений $\frac{c}{a} > 0$ не выполняется. Уравнение $x^2 = -\frac{c}{a}$ имеет два действительных корня, так как $-\frac{c}{a} > 0$.

Ответ: уравнение имеет решения.

3) $a < 0, c < 0$

Значения $a$ и $c$ имеют одинаковые знаки (оба отрицательны). Следовательно, $\frac{c}{a} > 0$. Условие отсутствия решений выполняется. Уравнение $x^2 = -\frac{c}{a}$ не имеет действительных корней, так как $-\frac{c}{a} < 0$.

Ответ: уравнение не имеет решений.

4) $a < 0, c > 0$

Значения $a$ и $c$ имеют разные знаки. Следовательно, $\frac{c}{a} < 0$. Условие отсутствия решений $\frac{c}{a} > 0$ не выполняется. Уравнение $x^2 = -\frac{c}{a}$ имеет два действительных корня, так как $-\frac{c}{a} > 0$.

Ответ: уравнение имеет решения.

Таким образом, единственным случаем из предложенных, когда уравнение не имеет решений, является вариант 3.