Номер 13, страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя (тест). Глава 3. Квадратные уравнения - номер 13, страница 157.

Условие.

13 Найдите значения $x$, при которых выполняется равенство $x^4 = 8x^2 + 9$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Данное уравнение $x^4 = 8x^2 + 9$ является биквадратным. Для его решения перенесем все члены в левую часть:

$x^4 - 8x^2 - 9 = 0$

Это уравнение решается с помощью введения новой переменной. Пусть $t = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, на новую переменную накладывается ограничение: $t \ge 0$.

После замены исходное уравнение превращается в квадратное уравнение относительно переменной $t$:

$t^2 - 8t - 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Мы можем найти его корни, используя теорему Виета или через дискриминант. Воспользуемся вторым способом. Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$t_2 = \frac{8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 9$ удовлетворяет этому условию.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию ($-1 < 0$), следовательно, он является посторонним корнем и не подходит для дальнейшего решения.

Теперь выполним обратную замену, используя единственный подходящий корень $t_1 = 9$:

$x^2 = 9$

Из этого уравнения находим значения $x$, извлекая квадратный корень из обеих частей:

$x_1 = 3$

$x_2 = -3$

Таким образом, исходное равенство выполняется при $x = 3$ и $x = -3$.

Ответ: $-3; 3$.