Номер 16, страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя (тест). Глава 3. Квадратные уравнения - номер 16, страница 157.

Условие.

16 Прочитайте задачу: «Одно число на 5 меньше другого. Сумма большего числа и квадрата меньшего равна 17. Найдите эти числа».

Обозначьте меньшее число буквой $x$. Какое уравнение соответствует условию задачи?

1) $x^2 + 11x + 8 = 0$

2) $x^2 + x - 12 = 0$

3) $x^2 - 9x + 8 = 0$

4) $x^2 + x - 22 = 0$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи необходимо составить уравнение на основе её условий. В задаче сказано обозначить меньшее число буквой $x$.

Исходя из условия «Одно число на 5 меньше другого», можно выразить большее число. Если меньшее число — это $x$, то большее число — это $x + 5$.

Далее в условии говорится: «Сумма большего числа и квадрата меньшего равна 17». Запишем это в виде математического равенства:
(большее число) + (квадрат меньшего числа) = 17
$(x + 5) + x^2 = 17$

Чтобы сравнить полученное уравнение с предложенными вариантами, приведем его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$. Для этого перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
$x^2 + x + 5 - 17 = 0$
$x^2 + x - 12 = 0$

Полученное уравнение $x^2 + x - 12 = 0$ полностью совпадает с вариантом ответа под номером 2.

Теперь, чтобы полностью решить задачу и найти числа, как требуется в ее формулировке («Найдите эти числа»), решим составленное уравнение.

Решаем квадратное уравнение $x^2 + x - 12 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 + 7}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 - 7}{2} = -4$

Мы нашли два возможных значения для меньшего числа ($x$). Для каждого из них найдем соответствующее большее число ($x+5$):
1. Если меньшее число равно 3, то большее число равно $3 + 5 = 8$. Эта пара чисел (3, 8).
Проверка: $8 + 3^2 = 8 + 9 = 17$. Верно.
2. Если меньшее число равно -4, то большее число равно $-4 + 5 = 1$. Эта пара чисел (-4, 1).
Проверка: $1 + (-4)^2 = 1 + 16 = 17$. Верно.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: Уравнение, соответствующее условию задачи: 2) $x^2 + x - 12 = 0$. Искомые числа: 3 и 8, либо -4 и 1.