Номер 3, страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.1. Линейное уравнение с двумя переменными. Вопросы к параграфу. Глава 4. Системы уравнений - номер 3, страница 162.

Условие.

Обозначьте в каждом случае неизвестные величины буквами и составьте по условию задачи уравнение с двумя переменными:

a) Площадь прямоугольника равна 36 см$^2$. Чему равны длины его сторон?

Пусть длины сторон прямоугольника равны $x$ и $y$. Тогда уравнение: $xy = 36$

б) Периметр равнобедренного треугольника равен 16 см. Чему равны длины боковой стороны и основания?

Пусть длина боковой стороны равна $x$, а длина основания равна $y$. Тогда уравнение: $2x + y = 16$

в) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см. Чему равны длины его катетов?

Пусть длины катетов равны $x$ и $y$. Тогда уравнение: $x^2 + y^2 = 25$

Есть ли среди составленных уравнений линейное? Приведите свой пример линейного уравнения с двумя переменными и уравнения, не являющегося линейным.

Решение 3.

Решение 4.

а) Обозначим длины сторон прямоугольника переменными $a$ и $b$. Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию, $S = 36 \text{ см}^2$. Следовательно, уравнение, связывающее длины сторон, имеет вид: $a \cdot b = 36$.
Ответ: $a \cdot b = 36$, где $a$ и $b$ — длины сторон прямоугольника в см.

б) Обозначим длину боковой стороны равнобедренного треугольника переменной $a$, а длину основания — переменной $b$. Периметр $P$ равнобедренного треугольника равен сумме длин всех его сторон, то есть $P = a + a + b = 2a + b$. По условию, $P = 16 \text{ см}$. Таким образом, получаем уравнение: $2a + b = 16$.
Ответ: $2a + b = 16$, где $a$ — длина боковой стороны, а $b$ — длина основания треугольника в см.

в) Обозначим длины катетов прямоугольного треугольника переменными $a$ и $b$. Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$, где $c$ — длина гипотенузы. По условию, $c = 5 \text{ см}$. Подставив значение гипотенузы, получим уравнение: $a^2 + b^2 = 5^2$ или $a^2 + b^2 = 25$.
Ответ: $a^2 + b^2 = 25$, где $a$ и $b$ — длины катетов треугольника в см.

Среди составленных уравнений линейным является уравнение из пункта б): $2a + b = 16$. Линейное уравнение с двумя переменными имеет общий вид $Ax + By = C$, где $A$, $B$ и $C$ — некоторые числа, а переменные $x$ и $y$ находятся в первой степени. Уравнение $2a+b=16$ полностью соответствует этому виду. Уравнение из пункта а) ($a \cdot b = 36$) не является линейным, так как содержит произведение переменных. Уравнение из пункта в) ($a^2 + b^2 = 25$) также не является линейным, так как переменные возведены во вторую степень.
Пример линейного уравнения с двумя переменными: $3x - 7y = 21$.
Пример уравнения, не являющегося линейным: $y = x^3 + 4$.
Ответ: Да, уравнение $2a+b=16$ является линейным. Пример линейного уравнения: $3x - 7y = 21$. Пример нелинейного уравнения: $y = x^3 + 4$.