Номер 4.1, страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.1. Линейное уравнение с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.1, страница 162.

Условие.

4.1 Какие из данных уравнений являются линейными?

1) $2x + 3y = 6$

2) $4x^2 - 3y = 0$

3) $5x - 2y = 0$

4) $\frac{2}{x} + \frac{7}{y} = 1$

5) $3xy + 2y = 2$

6) $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида $ax + by = c$, где $x$ и $y$ — переменные, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты), причем $a$ и $b$ одновременно не равны нулю. Ключевые признаки линейного уравнения:

• Переменные ($x$ и $y$) находятся только в первой степени.
• Отсутствуют произведения переменных (например, член $xy$).
• Переменные не находятся в знаменателе дроби.

Проанализируем каждое из предложенных уравнений:

1) $2x + 3y = 6$

Это уравнение полностью соответствует стандартному виду линейного уравнения $ax + by = c$. Здесь $a = 2$, $b = 3$, $c = 6$. Переменные $x$ и $y$ в первой степени, нет их произведения или деления на них.
Ответ: является линейным.

2) $4x^2 - 3y = 0$

В этом уравнении переменная $x$ возведена во вторую степень ($x^2$). Это противоречит определению линейного уравнения, где все переменные должны быть в первой степени.
Ответ: не является линейным.

3) $5x - 2y = 0$

Это уравнение также соответствует стандартному виду $ax + by = c$, где $a = 5$, $b = -2$, $c = 0$. Все условия для линейного уравнения соблюдены.
Ответ: является линейным.

4) $\frac{2}{x} + \frac{7}{y} = 1$

Здесь переменные $x$ и $y$ находятся в знаменателях дробей. Это означает, что они имеют степень -1 ($2x^{-1} + 7y^{-1} = 1$), что не является первой степенью. Следовательно, уравнение нелинейное.
Ответ: не является линейным.

5) $3xy + 2y = 2$

Это уравнение содержит член $3xy$, который является произведением переменных $x$ и $y$. В линейных уравнениях такое не допускается.
Ответ: не является линейным.

6) $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1$

Данное уравнение можно переписать в виде $\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y = 1$. В такой форме оно соответствует стандартному виду $ax + by = c$, где коэффициенты $a = \frac{1}{2}$, $b = \frac{1}{3}$, а $c = 1$. Переменные находятся в числителе (в первой степени), что соответствует определению.
Ответ: является линейным.

Таким образом, линейными являются уравнения под номерами 1, 3, 6.