Номер 4.7, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.1. Линейное уравнение с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.7, страница 163.

Условие.

4.7 Имеет ли уравнение решения? Если имеет, то приведите примеры решений:

а) $x^2 = y^2$;

б) $xy = 8$;

в) $xy = 0$;

г) $x = y^2$;

д) $x^2 + y^2 = 0$;

е) $|x| + |y| + 1 = 0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Да, уравнение $x^2 = y^2$ имеет решения. Это равенство выполняется, когда модули чисел $x$ и $y$ равны, то есть $|x| = |y|$. Это, в свою очередь, означает, что либо $x = y$, либо $x = -y$. Таким образом, решений бесконечно много. Например, если $x=5$, то $y=5$ или $y=-5$.
Ответ: Да, имеет. Например, $x=2, y=2$; $x=3, y=-3$.

б) Да, уравнение $xy = 8$ имеет решения. Для любого ненулевого значения $x$ можно найти соответствующее значение $y$ по формуле $y = 8/x$. Например, если $x=2$, то $y=4$. Если $x=-1$, то $y=-8$.
Ответ: Да, имеет. Например, $x=2, y=4$; $x=1, y=8$.

в) Да, уравнение $xy = 0$ имеет решения. Произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. То есть, решением будет любая пара чисел $(x, y)$, в которой либо $x=0$ (а $y$ — любое число), либо $y=0$ (а $x$ — любое число).
Ответ: Да, имеет. Например, $x=0, y=5$; $x=12, y=0$.

г) Да, уравнение $x = y^2$ имеет решения. Поскольку квадрат любого действительного числа $y$ неотрицателен ($y^2 \ge 0$), то для любого неотрицательного $x$ можно найти решение. Для любого значения $y$ можно вычислить соответствующее значение $x$. Например, если $y=3$, то $x=3^2=9$. Если $y=-4$, то $x=(-4)^2=16$.
Ответ: Да, имеет. Например, $x=4, y=2$; $x=9, y=-3$.

д) Да, уравнение $x^2 + y^2 = 0$ имеет решение. Квадрат любого действительного числа — величина неотрицательная, то есть $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю. Следовательно, $x^2=0$ и $y^2=0$, откуда получаем $x=0$ и $y=0$. Это единственное решение.
Ответ: Да, имеет. Единственное решение $x=0, y=0$.

е) Нет, уравнение $|x| + |y| + 1 = 0$ не имеет решений в действительных числах. Модуль любого числа по определению неотрицателен: $|x| \ge 0$ и $|y| \ge 0$. Их сумма также неотрицательна: $|x| + |y| \ge 0$. Если к неотрицательной величине прибавить 1, то результат будет строго больше нуля: $|x| + |y| + 1 \ge 1$. Таким образом, левая часть уравнения никогда не может равняться нулю.
Ответ: Нет, не имеет.