Номер 4.10, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.1. Линейное уравнение с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.10, страница 163.

Условие.

4.10 Учащиеся 8 класса выполнили тест, содержащий задания по алгебре и геометрии. За каждый верный ответ на алгебраический вопрос выставлялось 3 балла, а на геометрический — 4 балла. Ученик верно ответил на все вопросы теста и получил 100 баллов. Сколько в тесте было заданий по алгебре и сколько — по геометрии?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть $x$ — количество заданий по алгебре, а $y$ — количество заданий по геометрии в тесте.

За каждый верный ответ на алгебраический вопрос начислялось 3 балла, значит, за все решенные задания по алгебре ученик получил $3x$ баллов. За каждый верный ответ на геометрический вопрос начислялось 4 балла, следовательно, за все задания по геометрии он получил $4y$ баллов.

По условию, ученик верно ответил на все вопросы и в сумме набрал 100 баллов. Мы можем составить следующее уравнение:
$3x + 4y = 100$

Переменные $x$ и $y$ должны быть целыми положительными числами, так как они обозначают количество заданий, и в тесте присутствовали вопросы обоих типов ($x>0$ и $y>0$). Таким образом, нам нужно найти решения этого уравнения в целых положительных числах. Это линейное диофантово уравнение.

Выразим одну переменную через другую, например, $y$ через $x$:
$4y = 100 - 3x$
$y = \frac{100 - 3x}{4}$
$y = 25 - \frac{3x}{4}$

Чтобы $y$ был целым числом, необходимо, чтобы $3x$ делилось на 4 без остатка. Так как числа 3 и 4 являются взаимно простыми (не имеют общих делителей, кроме 1), $x$ должен быть кратен 4.

Кроме того, поскольку количество заданий по геометрии $y$ должно быть положительным числом, то:
$y > 0$
$25 - \frac{3x}{4} > 0$
$25 > \frac{3x}{4}$
$100 > 3x$
$x < \frac{100}{3} \approx 33.33$

Итак, мы ищем все целые положительные значения $x$, которые кратны 4 и меньше 33,33.
Такими значениями являются: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого из этих $x$:
- Если $x = 4$, то $y = 25 - \frac{3 \cdot 4}{4} = 25 - 3 = 22$.
- Если $x = 8$, то $y = 25 - \frac{3 \cdot 8}{4} = 25 - 6 = 19$.
- Если $x = 12$, то $y = 25 - \frac{3 \cdot 12}{4} = 25 - 9 = 16$.
- Если $x = 16$, то $y = 25 - \frac{3 \cdot 16}{4} = 25 - 12 = 13$.
- Если $x = 20$, то $y = 25 - \frac{3 \cdot 20}{4} = 25 - 15 = 10$.
- Если $x = 24$, то $y = 25 - \frac{3 \cdot 24}{4} = 25 - 18 = 7$.
- Если $x = 28$, то $y = 25 - \frac{3 \cdot 28}{4} = 25 - 21 = 4$.
- Если $x = 32$, то $y = 25 - \frac{3 \cdot 32}{4} = 25 - 24 = 1$.

Таким образом, существует 8 возможных комбинаций количества заданий по алгебре и геометрии.

Ответ: Задача имеет несколько решений. Количество заданий по алгебре и геометрии соответственно может быть: 4 и 22; 8 и 19; 12 и 16; 16 и 13; 20 и 10; 24 и 7; 28 и 4; 32 и 1.