Номер 3, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.2. График линейного уравнения с двумя переменными. Вопросы к параграфу. Глава 4. Системы уравнений - номер 3, страница 168.

Условие.

Во фрагменте 2 рассмотрены два способа построения графика уравнения $x - 3y + 6 = 0$. Что общего у этих способов и чем они различаются? Пользуясь этим примером как образцом, постройте двумя способами прямую, которая задаётся уравнением $2x - y = 4$.

Решение 3.

Решение 4.

Хотя в задании не приводится сам "фрагмент 2", можно предположить, что речь идет о двух стандартных способах построения графика линейной функции: по двум произвольным точкам и по точкам пересечения с осями координат.

Сравнение двух способов

Общее: Оба способа основаны на аксиоме, что через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну. Поэтому для построения графика линейного уравнения (прямой) в обоих методах ищутся координаты двух точек, удовлетворяющих этому уравнению. Конечный результат — график одной и той же прямой.

Различия: Различие заключается в принципе выбора этих двух точек.

• В первом способе точки выбираются совершенно произвольно. Обычно подбирают такие значения переменной (например, $x$), при которых удобно вычислять значение другой переменной ($y$), чтобы получить целочисленные координаты.
• Во втором способе выбираются не произвольные, а конкретные точки — точки, в которых прямая пересекает оси координат. То есть, одна точка имеет координату $x=0$ (пересечение с осью Oy), а другая — $y=0$ (пересечение с осью Ox).

Построение прямой $2x - y = 4$ двумя способами

Способ 1: Построение по двум произвольным точкам
Для удобства вычислений выразим $y$ из уравнения $2x - y = 4$: $y = 2x - 4$
Теперь найдем координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой.

1. Пусть $x = 1$. Тогда $y = 2 \cdot 1 - 4 = 2 - 4 = -2$. Получили первую точку A(1, -2).
2. Пусть $x = 3$. Тогда $y = 2 \cdot 3 - 4 = 6 - 4 = 2$. Получили вторую точку B(3, 2).

Отметив точки A(1, -2) и B(3, 2) на координатной плоскости и соединив их прямой, мы получим искомый график.
Ответ: График уравнения $2x - y = 4$ — это прямая, проходящая через точки (1, -2) и (3, 2).

Способ 2: Построение по точкам пересечения с осями координат
Используем уравнение $2x - y = 4$.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (Oy). В этой точке координата $x$ всегда равна нулю.
   Подставим $x=0$ в уравнение:
   $2 \cdot 0 - y = 4$
   $-y = 4$
   $y = -4$
   Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты C(0, -4).
2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (Ox). В этой точке координата $y$ всегда равна нулю.
   Подставим $y=0$ в уравнение:
   $2x - 0 = 4$
   $2x = 4$
   $x = 2$
   Таким образом, точка пересечения с осью Ox имеет координаты D(2, 0).

Отметив точки C(0, -4) и D(2, 0) на координатной плоскости и соединив их прямой, мы получим тот же самый график.
Ответ: График уравнения $2x - y = 4$ — это прямая, проходящая через точки (0, -4) и (2, 0).