Номер 4.12, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.1. Линейное уравнение с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.12, страница 163.

Условие.

4.12 На неделю учащимся 8 класса было предложено для решения два списка задач: по алгебре и по геометрии. За каждую правильно решённую задачу по алгебре выставлялось 4 балла, а по геометрии — 5 баллов. Николай за выполненную им работу получил 80 баллов. Сколько задач по алгебре и сколько по геометрии решил Николай, если известно, что в каждом списке было 15 задач?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть $x$ — количество правильно решённых задач по алгебре, а $y$ — количество правильно решённых задач по геометрии.

Согласно условию, за каждую решённую задачу по алгебре давали 4 балла, а по геометрии — 5 баллов. Всего Николай набрал 80 баллов. Мы можем составить следующее уравнение:$4x + 5y = 80$

Также известно, что в каждом списке было по 15 задач. Это означает, что количество решённых задач по каждому предмету не может быть больше 15. Кроме того, количество задач должно быть целым и неотрицательным числом. Таким образом, на переменные $x$ и $y$ накладываются следующие ограничения:$0 \le x \le 15$$0 \le y \le 15$где $x, y$ — целые числа.

Для решения задачи найдём все целочисленные решения уравнения, удовлетворяющие заданным ограничениям. Выразим $x$ через $y$:$4x = 80 - 5y$$x = \frac{80 - 5y}{4} = 20 - \frac{5}{4}y$

Чтобы $x$ был целым числом, необходимо, чтобы $5y$ было кратно 4. Так как числа 5 и 4 являются взаимно простыми (не имеют общих делителей, кроме 1), то $y$ должен быть кратен 4.

Учитывая ограничение $0 \le y \le 15$, найдём все возможные значения для $y$. Это могут быть: 0, 4, 8, 12.Рассмотрим каждый из этих случаев:

• Если $y = 0$, то $x = 20 - \frac{5}{4} \cdot 0 = 20$. Это значение не удовлетворяет условию $x \le 15$, следовательно, этот вариант невозможен.

• Если $y = 4$, то $x = 20 - \frac{5}{4} \cdot 4 = 20 - 5 = 15$. Это решение удовлетворяет условиям $0 \le 15 \le 15$ и $0 \le 4 \le 15$. Проверим: $4 \cdot 15 + 5 \cdot 4 = 60 + 20 = 80$. Это верное решение.

• Если $y = 8$, то $x = 20 - \frac{5}{4} \cdot 8 = 20 - 10 = 10$. Это решение удовлетворяет условиям $0 \le 10 \le 15$ и $0 \le 8 \le 15$. Проверим: $4 \cdot 10 + 5 \cdot 8 = 40 + 40 = 80$. Это верное решение.

• Если $y = 12$, то $x = 20 - \frac{5}{4} \cdot 12 = 20 - 15 = 5$. Это решение удовлетворяет условиям $0 \le 5 \le 15$ и $0 \le 12 \le 15$. Проверим: $4 \cdot 5 + 5 \cdot 12 = 20 + 60 = 80$. Это верное решение.

Таким образом, у задачи есть три возможных решения.

Ответ: Николай мог решить: 15 задач по алгебре и 4 задачи по геометрии, или 10 задач по алгебре и 8 задач по геометрии, или 5 задач по алгебре и 12 задач по геометрии.