Номер 4.9, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.1. Линейное уравнение с двумя переменными. Глава 4. Системы уравнений - номер 4.9, страница 163.

Условие.

Решите задачу, составив по её условию уравнение с двумя переменными (4.9–4.12).

4.9 Ученики начальной школы на уроке математики выкладывают из палочек пятиугольники и шестиугольники. Всего в наборе 100 палочек. Сколько пятиугольников и сколько шестиугольников можно выложить, чтобы использованными оказались все палочки?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи введем две переменные. Пусть $x$ — количество пятиугольников, а $y$ — количество шестиугольников.

Для того чтобы выложить один пятиугольник, требуется 5 палочек, следовательно, на $x$ пятиугольников уйдет $5x$ палочек. Аналогично, для одного шестиугольника требуется 6 палочек, значит, на $y$ шестиугольников уйдет $6y$ палочек.

По условию, всего в наборе 100 палочек и все они должны быть использованы. Таким образом, мы можем составить уравнение с двумя переменными, которое описывает данную ситуацию: $5x + 6y = 100$

Так как $x$ и $y$ обозначают количество фигур, они могут быть только целыми и неотрицательными числами. Нам необходимо найти все пары целых неотрицательных чисел $(x, y)$, которые являются решением этого уравнения. Такое уравнение называется диофантовым.

Выразим переменную $x$ через $y$: $5x = 100 - 6y$ $x = \frac{100 - 6y}{5}$ $x = 20 - \frac{6y}{5}$

Для того чтобы $x$ был целым числом, необходимо, чтобы дробь $\frac{6y}{5}$ также была целым числом. Поскольку числа 6 и 5 являются взаимно простыми (не имеют общих делителей, кроме 1), это возможно только в том случае, если $y$ делится на 5 без остатка.

Кроме того, количество пятиугольников $x$ должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. $20 - \frac{6y}{5} \ge 0$ $20 \ge \frac{6y}{5}$ $100 \ge 6y$ $y \le \frac{100}{6}$ $y \le 16\frac{2}{3}$

Итак, нам нужно найти все целые неотрицательные значения $y$, которые делятся на 5 и не превышают $16\frac{2}{3}$. Возможные значения для $y$: 0, 5, 10, 15.

Теперь для каждого подходящего значения $y$ найдем соответствующее значение $x$:
1. Если $y = 0$ (0 шестиугольников), то $x = 20 - \frac{6 \cdot 0}{5} = 20$. Получается 20 пятиугольников.
Проверка: $5 \cdot 20 + 6 \cdot 0 = 100 + 0 = 100$.
2. Если $y = 5$ (5 шестиугольников), то $x = 20 - \frac{6 \cdot 5}{5} = 20 - 6 = 14$. Получается 14 пятиугольников.
Проверка: $5 \cdot 14 + 6 \cdot 5 = 70 + 30 = 100$.
3. Если $y = 10$ (10 шестиугольников), то $x = 20 - \frac{6 \cdot 10}{5} = 20 - 12 = 8$. Получается 8 пятиугольников.
Проверка: $5 \cdot 8 + 6 \cdot 10 = 40 + 60 = 100$.
4. Если $y = 15$ (15 шестиугольников), то $x = 20 - \frac{6 \cdot 15}{5} = 20 - 18 = 2$. Получается 2 пятиугольника.
Проверка: $5 \cdot 2 + 6 \cdot 15 = 10 + 90 = 100$.

Мы нашли все возможные комбинации.

Ответ: можно выложить: 20 пятиугольников и 0 шестиугольников; или 14 пятиугольников и 5 шестиугольников; или 8 пятиугольников и 10 шестиугольников; или 2 пятиугольника и 15 шестиугольников.