Номер 14, страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя (тест). Глава 3. Квадратные уравнения - номер 14, страница 157.

Условие.

14 Укажите корни уравнения $x^2 + (m - n)x - mn = 0.$

1) $x_1 = m, x_2 = n$

2) $x_1 = -m, x_2 = -n$

3) $x_1 = -m, x_2 = n$

4) $x_1 = m, x_2 = -n$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для нахождения корней данного квадратного уравнения $x^2 + (m - n)x - mn = 0$ можно использовать два основных метода: теорему Виета или формулу корней через дискриминант.

Способ 1: По теореме Виета

Уравнение является приведенным квадратным уравнением вида $x^2 + px + q = 0$, где коэффициент при $x^2$ равен 1.

В нашем случае, коэффициент при $x$ равен $p = m - n$, а свободный член $q = -mn$.

Согласно теореме Виета, для корней $x_1$ и $x_2$ выполняются следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p = -(m - n) = n - m$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q = -mn$.

Теперь необходимо найти два числа, сумма которых равна $n - m$, а произведение равно $-mn$. Проверим пару чисел $-m$ и $n$ из варианта ответа 3):

Их сумма: $(-m) + n = n - m$. Это соответствует первому условию.

Их произведение: $(-m) \cdot n = -mn$. Это соответствует второму условию.

Оба условия выполняются, следовательно, корнями уравнения являются $x_1 = -m$ и $x_2 = n$.

Способ 2: Через дискриминант

Для общего квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ коэффициенты в нашем случае равны:

$a = 1$, $b = m - n$, $c = -mn$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (m - n)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-mn) = (m^2 - 2mn + n^2) + 4mn = m^2 + 2mn + n^2$

Полученное выражение является полным квадратом суммы: $D = (m + n)^2$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(m - n) \pm \sqrt{(m + n)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{n - m \pm (m + n)}{2}$

Вычислим каждый корень отдельно:

Первый корень: $x_1 = \frac{n - m + (m + n)}{2} = \frac{n - m + m + n}{2} = \frac{2n}{2} = n$

Второй корень: $x_2 = \frac{n - m - (m + n)}{2} = \frac{n - m - m - n}{2} = \frac{-2m}{2} = -m$

Таким образом, корни уравнения: $n$ и $-m$. Это соответствует варианту ответа 3.

Ответ: 3) $x_1 = -m, x_2 = n$