Номер 12, страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя (тест). Глава 3. Квадратные уравнения - номер 12, страница 157.

Условие.

12 Какое из следующих уравнений является биквадратным уравнением?

1) $x^4 + 3x^2 + x = 0$

2) $x^4 + 5x^3 - 6 = 0$

3) $x^4 + x - 5 = 0$

4) $x^4 + x^2 + 1 = 0$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Биквадратным уравнением называется уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a$, $b$ и $c$ – некоторые числа, причем $a \neq 0$. Ключевой особенностью такого уравнения является то, что оно содержит переменную только в четных степенях (в четвертой и второй), а также свободный член (константу). В нем отсутствуют слагаемые с переменной в нечетных степенях ($x^3$ и $x$). Проанализируем каждое из предложенных уравнений на соответствие этому определению.

1) $x^4 + 3x^2 + x = 0$
Данное уравнение содержит слагаемое $x$, то есть переменную в первой степени. Это нарушает структуру биквадратного уравнения. Следовательно, оно не является биквадратным.
Ответ: не является биквадратным.

2) $x^4 + 5x^3 - 6 = 0$
Данное уравнение содержит слагаемое $5x^3$, то есть переменную в третьей степени. Это также не соответствует определению биквадратного уравнения.
Ответ: не является биквадратным.

3) $x^4 + x - 5 = 0$
Как и в первом случае, это уравнение содержит слагаемое $x$ в первой степени, что делает его небиквадратным.
Ответ: не является биквадратным.

4) $x^4 + x^2 + 1 = 0$
Это уравнение полностью соответствует общему виду биквадратного уравнения $ax^4 + bx^2 + c = 0$. В данном случае коэффициенты равны: $a=1$, $b=1$, $c=1$. Уравнение содержит только $x^4$, $x^2$ и свободный член. Его можно свести к квадратному уравнению путем замены переменной $y = x^2$, что приведет к уравнению $y^2 + y + 1 = 0$.
Ответ: является биквадратным.