Номер 6, страница 244 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь (обязательные результаты обучения). Глава 5. Функции - номер 6, страница 244.

Условие.

6 От Москвы до Ржева 240 км. Автобус выходит из Москвы и едет во Ржев со средней скоростью 60 км/ч. Расстояние $y$, которое остаётся проехать до Ржева, — это функция времени $x$ движения автобуса.

а) Задайте эту функцию формулой.

б) Какое расстояние останется проехать автобусу через 1 ч после начала движения? через 2 ч? через 4 ч?

в) Через какое время автобус будет находиться в 100 км от Ржева? в 80 км от Ржева?

г) Что является графиком данной функции?

д) Возрастающей или убывающей является функция?

е) Постройте график данной функции (выберите удобные единицы на осях).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Задайте эту функцию формулой.

Пусть $x$ — время движения автобуса в часах, а $y$ — расстояние в километрах, которое осталось проехать до Ржева. Общее расстояние от Москвы до Ржева составляет 240 км. Средняя скорость автобуса — 60 км/ч. За время $x$ часов автобус проедет расстояние, равное произведению скорости на время: $60 \cdot x$ км. Расстояние $y$, которое останется проехать до Ржева, — это разность между общим расстоянием и уже пройденным. Таким образом, зависимость $y$ от $x$ выражается формулой: $y = 240 - 60x$. Поездка начинается в момент времени $x=0$ и заканчивается, когда оставшееся расстояние $y$ станет равно нулю. Найдем, когда это произойдет: $0 = 240 - 60x \implies 60x = 240 \implies x = 4$. Следовательно, функция определена на отрезке $0 \le x \le 4$.

Ответ: $y = 240 - 60x$, где $0 \le x \le 4$.

б) Какое расстояние останется проехать автобусу через 1 ч после начала движения? через 2 ч? через 4 ч?

Для нахождения расстояния используем полученную формулу $y = 240 - 60x$ и подставим в нее соответствующие значения времени $x$:
- Через 1 час ($x=1$):
$y = 240 - 60 \cdot 1 = 240 - 60 = 180$ км.
- Через 2 часа ($x=2$):
$y = 240 - 60 \cdot 2 = 240 - 120 = 120$ км.
- Через 4 часа ($x=4$):
$y = 240 - 60 \cdot 4 = 240 - 240 = 0$ км.

Ответ: Через 1 час останется проехать 180 км, через 2 часа — 120 км, через 4 часа — 0 км.

в) Через какое время автобус будет находиться в 100 км от Ржева? в 80 км от Ржева?

Для нахождения времени $x$ подставим в формулу $y = 240 - 60x$ известные значения расстояния $y$:
- Когда до Ржева останется 100 км ($y=100$):
$100 = 240 - 60x$
$60x = 240 - 100$
$60x = 140$
$x = \frac{140}{60} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} = 2 \frac{1}{3}$ часа. Это составляет 2 часа и 20 минут.
- Когда до Ржева останется 80 км ($y=80$):
$80 = 240 - 60x$
$60x = 240 - 80$
$60x = 160$
$x = \frac{160}{60} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3}$ часа. Это составляет 2 часа и 40 минут.

Ответ: В 100 км от Ржева автобус будет через $2\frac{1}{3}$ часа (2 часа 20 минут), а в 80 км от Ржева — через $2\frac{2}{3}$ часа (2 часа 40 минут).

г) Что является графиком данной функции?

Функция $y = 240 - 60x$ является линейной функцией вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = -60$, а свободный член $b = 240$. Графиком линейной функции является прямая. Поскольку в нашей задаче функция рассматривается только на отрезке $0 \le x \le 4$, ее графиком будет не вся прямая, а отрезок прямой.

Ответ: Графиком данной функции является отрезок прямой.

д) Возрастающей или убывающей является функция?

Для линейной функции $y = kx + b$ характер монотонности определяется знаком углового коэффициента $k$. В нашем случае $k = -60$, что меньше нуля ($k < 0$). Следовательно, функция является убывающей. Это также очевидно из смысла задачи: с увеличением времени в пути ($x$) расстояние до конечного пункта ($y$) уменьшается.

Ответ: Функция является убывающей.

е) Постройте график данной функции (выберите удобные единицы на осях).

Для построения графика найдем координаты двух точек, являющихся концами отрезка. Первая точка соответствует началу движения: при $x=0$, $y = 240 - 60 \cdot 0 = 240$. Координаты точки: $(0; 240)$. Вторая точка соответствует концу поездки: при $x=4$, $y = 240 - 60 \cdot 4 = 0$. Координаты точки: $(4; 0)$. Построим систему координат, отложив по горизонтальной оси (оси абсцисс) время $x$ в часах, а по вертикальной оси (оси ординат) — расстояние $y$ в километрах. Соединим точки $(0; 240)$ и $(4; 0)$ отрезком прямой.

Ответ: График функции представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки с координатами $(0; 240)$ и $(4; 0)$.