Номер 11, страница 243 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Глава 5. Функции - номер 11, страница 243.

Условие.

11 Как расположен на координатной плоскости график функции $y = \frac{k}{x}$ при $k > 0$? при $k < 0$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Функция вида $y = \frac{k}{x}$, где $k \neq 0$, называется обратной пропорциональностью. Ее график — это кривая, состоящая из двух частей (ветвей), называемая гиперболой. Расположение этих ветвей на координатной плоскости зависит от знака коэффициента $k$.

при k > 0?

Если коэффициент $k$ является положительным числом ($k > 0$), то из уравнения $y = \frac{k}{x}$ следует, что переменные $x$ и $y$ должны иметь одинаковые знаки. Это можно увидеть, выразив $k$ через $x$ и $y$: $xy = k$. Так как $k > 0$, произведение $xy$ должно быть положительным.

Рассмотрим два возможных случая:

• Если $x > 0$ (положительная полуось абсцисс), то для того, чтобы произведение $xy$ было положительным, $y$ также должен быть положительным ($y > 0$). Точки с координатами $(x, y)$, где $x > 0$ и $y > 0$, лежат в I координатной четверти.

• Если $x < 0$ (отрицательная полуось абсцисс), то для того, чтобы произведение $xy$ было положительным, $y$ также должен быть отрицательным ($y < 0$). Точки с координатами $(x, y)$, где $x < 0$ и $y < 0$, лежат в III координатной четверти.

Таким образом, при $k > 0$ ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях.

Ответ: При $k > 0$ график функции $y = \frac{k}{x}$ расположен в I и III координатных четвертях.

при k < 0?

Если коэффициент $k$ является отрицательным числом ($k < 0$), то из уравнения $xy = k$ следует, что произведение $xy$ должно быть отрицательным. Это возможно только в том случае, если переменные $x$ и $y$ имеют противоположные знаки.

Рассмотрим два возможных случая:

• Если $x > 0$ (положительная полуось абсцисс), то для того, чтобы произведение $xy$ было отрицательным, $y$ должен быть отрицательным ($y < 0$). Точки с координатами $(x, y)$, где $x > 0$ и $y < 0$, лежат в IV координатной четверти.

• Если $x < 0$ (отрицательная полуось абсцисс), то для того, чтобы произведение $xy$ было отрицательным, $y$ должен быть положительным ($y > 0$). Точки с координатами $(x, y)$, где $x < 0$ и $y > 0$, лежат во II координатной четверти.

Таким образом, при $k < 0$ ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях.

Ответ: При $k < 0$ график функции $y = \frac{k}{x}$ расположен во II и IV координатных четвертях.