Номер 4, страница 243 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Глава 5. Функции - номер 4, страница 243.

Условие.

4 На примере функции $y = \frac{5}{x-1}$ объясните, как находят область определения функции, заданной формулой.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Как находить область определения функции, заданной формулой

Область определения функции (обозначается $D(y)$ или $D(f)$) — это множество всех допустимых значений независимой переменной $x$ (аргумента), при которых формула, задающая функцию, имеет смысл. То есть это все значения $x$, для которых можно вычислить соответствующее значение $y$.

Чтобы найти область определения, нужно проанализировать формулу функции и определить, есть ли в ней математические операции, которые накладывают ограничения на значения $x$. Основные ограничения:

• Деление: Если в формуле есть дробь, ее знаменатель не может быть равен нулю.
• Извлечение корня четной степени: Выражение под знаком квадратного корня (или любого корня четной степени, например, $\sqrt[4]{A}$) должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).
• Логарифм: Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным.

Объяснение на примере функции $y = \frac{5}{x-1}$

Рассмотрим конкретную функцию, заданную формулой $y = \frac{5}{x-1}$.

1. Анализируем формулу. Мы видим, что в формуле присутствует операция деления. Числитель дроби равен 5, а знаменатель — выражению $x-1$.

2. Находим ограничение. Единственное ограничение для данной функции — это невозможность деления на ноль. Следовательно, знаменатель дроби не должен равняться нулю.

3. Составляем и решаем условие. Запишем это ограничение в виде математического условия и найдем значения $x$, которые нужно исключить из области определения.
Знаменатель не равен нулю:
$x - 1 \neq 0$
Решая это, получаем:
$x \neq 1$

4. Делаем вывод. Мы выяснили, что при $x=1$ знаменатель дроби обращается в ноль, что делает вычисление значения функции невозможным. Для всех остальных действительных чисел $x$ значение $y$ может быть найдено.

Следовательно, область определения функции $y = \frac{5}{x-1}$ — это все действительные числа, кроме 1. Это множество можно записать в виде объединения двух интервалов: от минус бесконечности до 1 и от 1 до плюс бесконечности.

Ответ: Область определения функции: $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.