Номер 5.78, страница 242 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.6. Целая и дробная части числа. Глава 5. Функции - номер 5.78, страница 242.

Условие.

5.78 a) $y = -[x];$

б) $y = [-x];$

в) $y = [|x|].$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

В данной задаче требуется проанализировать и описать три функции, связанные с операцией взятия целой части числа (антье). Обозначение $[x]$ соответствует функции "пол" (floor function), которая возвращает наибольшее целое число, не превосходящее $x$.

а) $y = -[x]$

Функция $y = -[x]$ определяется как число, противоположное по знаку целой части аргумента $x$. График этой функции можно получить из графика функции $y = [x]$ (стандартной "лесенки") путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси $Ox$).

Проанализируем значения функции на различных интервалах:
- Если $x \in [0, 1)$, то $[x] = 0$, следовательно $y = -0 = 0$.
- Если $x \in [1, 2)$, то $[x] = 1$, следовательно $y = -1$.
- Если $x \in [-1, 0)$, то $[x] = -1$, следовательно $y = -(-1) = 1$.
- В общем случае, для любого целого числа $n$, если $x$ принадлежит полуинтервалу $[n, n+1)$, то $[x]=n$, а значение функции будет $y = -n$.

Основные свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$, то есть все действительные числа.
2. Область значений: $E(y) = \mathbb{Z}$, то есть множество всех целых чисел.
3. Монотонность: Функция является кусочно-постоянной и в целом невозрастающей. На каждом интервале вида $[n, n+1)$ функция постоянна, а в целочисленных точках $x=n$ она претерпевает разрыв (скачок).

График функции — это ступенчатая линия ("лесенка"), спускающаяся слева направо. Он состоит из горизонтальных отрезков. Для каждого интервала $[n, n+1)$ график представляет собой отрезок прямой $y=-n$, где левая точка $(n, -n)$ принадлежит графику, а правая точка $(n+1, -n)$ — не принадлежит (выколота).

Ответ: Функция $y = -[x]$ сопоставляет каждому действительному числу $x$ целое число, равное $-[x]$. Ее график — это "лесенка", симметричная графику $y=[x]$ относительно оси $Ox$. Функция определена для всех $x$, принимает все целые значения и является невозрастающей.

б) $y = [-x]$

Функция $y = [-x]$ определяется как целая часть числа $-x$. Хотя эта функция похожа на предыдущую, между ними есть существенное различие.

Проанализируем значения функции на различных интервалах:
- Если $x \in (-1, 0]$, то $-x \in [0, 1)$, следовательно $y = [-x] = 0$.
- Если $x \in (0, 1]$, то $-x \in [-1, 0)$, следовательно $y = [-x] = -1$.
- Если $x \in (1, 2]$, то $-x \in [-2, -1)$, следовательно $y = [-x] = -2$.
- В общем случае, для любого целого числа $n$, если $x$ принадлежит полуинтервалу $(n-1, n]$, то $-x$ принадлежит полуинтервалу $[-n, -(n-1))$, а значение функции будет $y = [-x] = -n$.

Сравним с функцией $y = -[x]$:
- Для целых $x=n$: $[-n] = -n$ и $-[n] = -n$. Значения совпадают.
- Для нецелых $x$: значения различны. Например, для $x=1.5$: $y = [-1.5] = -2$. В то же время, для функции из пункта а), $y = -[1.5] = -1$. Справедливо тождество: $[-x] = -[x] - 1$ для нецелого $x$.

Основные свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = \mathbb{Z}$.
3. Монотонность: Функция также является кусочно-постоянной и невозрастающей.

График функции — это также "лесенка", спускающаяся слева направо. Однако, в отличие от $y=-[x]$, здесь ступеньки определены на интервалах вида $(n-1, n]$. Левая точка $(n-1, -n)$ выколота, а правая точка $(n, -n)$ включена.

Ответ: Функция $y = [-x]$ также является ступенчатой и невозрастающей. Она совпадает с функцией $y=-[x]$ во всех целочисленных точках, но отличается в нецелочисленных. Ее график — это "лесенка", у которой правые концы ступенек включены, а левые — выколоты.

в) $y = [|x|]$

Эта функция является композицией: сначала к аргументу $x$ применяется операция взятия модуля (абсолютной величины), а затем от результата берется целая часть.

Проверим функцию на четность: $y(-x) = [|-x|] = [|x|] = y(x)$. Функция является четной, следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$). Это позволяет нам сначала построить график для $x \ge 0$, а затем отразить его симметрично относительно оси $Oy$ для получения части графика при $x < 0$.

При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Таким образом, для неотрицательных $x$ функция принимает вид $y = [x]$. Это график стандартной функции "целая часть" на промежутке $[0, +\infty)$:
- Если $x \in [0, 1)$, то $y = 0$.
- Если $x \in [1, 2)$, то $y = 1$.
- В общем, для $x \in [n, n+1)$ ($n \ge 0$), $y=n$.

Теперь, используя симметрию, построим график для $x < 0$. График для $x<0$ будет зеркальным отражением графика для $x>0$.
Можно также найти, при каких $x$ функция принимает постоянное значение $k$ (где $k$ — неотрицательное целое число).
$y=k \iff k \le |x| < k+1$.
Решение этого двойного неравенства дает нам объединение двух интервалов: $x \in [k, k+1) \cup (-(k+1), -k]$.
- При $k=0$: $y=0$ для $x \in [0, 1) \cup (-1, 0]$, то есть для $x \in (-1, 1)$.
- При $k=1$: $y=1$ для $x \in [1, 2) \cup (-2, -1]$.
- При $k=2$: $y=2$ для $x \in [2, 3) \cup (-3, -2]$, и так далее.

Основные свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = \{0, 1, 2, \dots \}$, то есть множество всех неотрицательных целых чисел.
3. Четность: Функция четная.
4. Монотонность: Функция невозрастающая на луче $(-\infty, 0]$ и неубывающая на луче $[0, +\infty)$.

Ответ: Функция $y = [|x|]$ является четной, ее график симметричен относительно оси $Oy$. Область ее значений — неотрицательные целые числа. График представляет собой "лесенку", ступеньки которой "поднимаются" по мере удаления от начала координат в обе стороны. Самая низкая и широкая ступенька $y=0$ расположена на интервале $x \in (-1, 1)$.