Номер 5.79, страница 242 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.6. Целая и дробная части числа. Глава 5. Функции - номер 5.79, страница 242.

Условие.

5.79 а) $y = -\{x\};$

б) $y = \{-x\}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $y = -\{x\}$

Рассмотрим функцию $y = -\{x\}$. Здесь $\{x\}$ обозначает дробную часть числа $x$.

По определению, дробная часть числа $x$ вычисляется по формуле $\{x\} = x - [x]$, где $[x]$ — это целая часть числа $x$ (наибольшее целое число, не превосходящее $x$).

Свойства базовой функции $y_0 = \{x\}$:

• Область определения: все действительные числа, $D(y_0) = \mathbb{R}$.
• Область значений: полуинтервал $[0, 1)$, то есть $0 \le \{x\} < 1$.
• Функция является периодической с основным периодом $T=1$.

График функции $y = -\{x\}$ можно получить из графика функции $y_0 = \{x\}$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox).

Проанализируем свойства функции $y = -\{x\}$:

1. Область определения: такая же, как у $\{x\}$, то есть $D(y) = \mathbb{R}$.
2. Область значений: Поскольку $0 \le \{x\} < 1$, то умножая неравенство на -1, получаем $ -1 < -\{x\} \le 0$. Таким образом, область значений $E(y) = (-1, 0]$.
3. Периодичность: Функция также является периодической с периодом $T=1$.

Для построения графика рассмотрим поведение функции на одном периоде. На любом полуинтервале $[n, n+1)$, где $n \in \mathbb{Z}$, целая часть $[x] = n$. Следовательно, $\{x\} = x-n$.

Тогда на этом интервале функция примет вид $y = -(x-n) = n-x$.

Рассмотрим значения на концах интервала:

• При $x=n$, значение функции $y = -\{n\} = -0 = 0$. Точка $(n, 0)$ принадлежит графику (закрашенная точка).
• Когда $x$ стремится к $(n+1)$ слева ($x \to (n+1)^-$), значение $\{x\}$ стремится к $1$, следовательно $y = -\{x\}$ стремится к $-1$. Точка $(n+1, -1)$ не принадлежит графику (выколотая точка).

Таким образом, график функции $y = -\{x\}$ состоит из бесконечного множества параллельных отрезков с наклоном -1. Каждый отрезок на полуинтервале $[n, n+1)$ соединяет точку $(n, 0)$ и точку $(n+1, -1)$, причем левая точка включена в отрезок, а правая — нет.

Например:

• На $[0, 1)$: $y=-x$. График — отрезок от $(0,0)$ до $(1,-1)$ (точка $(1,-1)$ выколота).
• На $[1, 2)$: $y=-(x-1)=1-x$. График — отрезок от $(1,0)$ до $(2,-1)$ (точка $(2,-1)$ выколота).
• На $[-1, 0)$: $y=-(x-(-1))=-x-1$. График — отрезок от $(-1,0)$ до $(0,-1)$ (точка $(0,-1)$ выколота).

Ответ: График функции $y = -\{x\}$ представляет собой совокупность отрезков прямых $y=n-x$ на каждом полуинтервале $[n, n+1)$ для всех целых $n$. Каждый отрезок начинается в точке $(n, 0)$ (включительно) и заканчивается в точке $(n+1, -1)$ (исключительно). Область определения функции — все действительные числа $\mathbb{R}$, область значений — полуинтервал $(-1, 0]$. Период функции равен 1.

б) $y = \{-x\}$

Рассмотрим функцию $y = \{-x\}$, где $\{z\}$ — дробная часть числа $z$.

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y_0 = \{x\}$ с помощью геометрического преобразования. Преобразование вида $f(x) \to f(-x)$ соответствует симметричному отражению графика функции относительно оси ординат (оси Oy).

Сначала опишем график функции $y_0 = \{x\}$:

Он состоит из бесконечного набора отрезков. На каждом полуинтервале $[n, n+1)$ для целого $n$ график представляет собой отрезок прямой $y=x-n$. Он начинается в точке $(n,0)$ (включительно) и идет до точки $(n+1,1)$ (исключительно).

Теперь отразим этот график симметрично относительно оси Oy. При таком отражении точка $(x,y)$ переходит в точку $(-x,y)$.

Отрезок с полуинтервала $[n, n+1)$ перейдет на интервал $(-n-1, -n]$.

• Начальная точка $(n,0)$ перейдет в точку $(-n,0)$. Поскольку точка $(n,0)$ была включена, точка $(-n,0)$ также будет включена.
• Конечная точка $(n+1,1)$ (выколотая) перейдет в точку $(-n-1,1)$ (выколотая).

Таким образом, график функции $y = \{-x\}$ будет состоять из отрезков, каждый из которых определен на интервале вида $(k, k+1]$, где $k$ — целое число. Отрезок будет соединять точку $(k,1)$ (исключительно) и точку $(k+1,0)$ (включительно).

Проверим это аналитически. Пусть $x \in (k, k+1]$. Тогда $-x \in [-k-1, -k)$. Для всех чисел из этого интервала целая часть равна $-k-1$, то есть $[-x] = -k-1$.

Используя определение дробной части $\{-x\} = -x - [-x]$, получаем:

$y = -x - (-k-1) = -x + k + 1$.

Проверим значения на концах интервала $(k, k+1]$:

• При $x=k+1$, $y = -(k+1)+k+1=0$. Точка $(k+1, 0)$ принадлежит графику.
• Когда $x$ стремится к $k$ справа ($x \to k^+$), $y$ стремится к $-k+k+1=1$. Точка $(k, 1)$ не принадлежит графику.

Это подтверждает наше геометрическое построение.

Свойства функции $y = \{-x\}$:

1. Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$.
2. Область значений: такая же, как у $\{x\}$, то есть $E(y) = [0, 1)$.
3. Периодичность: $f(x+1) = \{-(x+1)\} = \{-x-1\} = \{-x\} = f(x)$. Период функции $T=1$.

Например:

• На $(0, 1]$ ($k=0$): $y=-x+1$. График — отрезок от $(0,1)$ (выколота) до $(1,0)$ (включена).
• На $(-1, 0]$ ($k=-1$): $y=-x$. График — отрезок от $(-1,1)$ (выколота) до $(0,0)$ (включена).

Ответ: График функции $y = \{-x\}$ является отражением графика функции $y=\{x\}$ относительно оси Oy. Он состоит из совокупности отрезков прямых $y=k+1-x$ на каждом интервале $(k, k+1]$ для всех целых $k$. Каждый отрезок начинается в точке $(k, 1)$ (исключительно) и заканчивается в точке $(k+1, 0)$ (включительно). Область определения функции — все действительные числа $\mathbb{R}$, область значений — полуинтервал $[0, 1)$. Период функции равен 1.