Номер 5.72, страница 240 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.5. Функция у = k/x. Глава 5. Функции - номер 5.72, страница 240.

Условие.

5.72 а) Постройте график функции $y=f(x)$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком одну общую точку, если $f(x) = \begin{cases} x+2 & \text{при } x \le 2 \\ \frac{8}{x} & \text{при } x > 2. \end{cases}$

б) Постройте график функции $y=f(x)$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком две общие точки, если $f(x) = \begin{cases} -x-1 & \text{при } x \le 2 \\ \frac{6}{x} & \text{при } x > 2. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Функция задана кусочно: $f(x) = \begin{cases} x+2 & \text{при } x \le 2 \\ \frac{8}{x} & \text{при } x > 2 \end{cases}$

1. Построим график функции $y = x+2$ на промежутке $x \le 2$. Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения найдем две точки. Крайняя точка промежутка $x=2$, $y(2)=2+2=4$. Точка $(2, 4)$ принадлежит графику. Возьмем еще одну точку, например, $x=0$, $y(0)=0+2=2$. Точка $(0, 2)$ также принадлежит графику. Графиком является луч, проходящий через точки $(0, 2)$ и $(2, 4)$ и идущий влево и вниз.

2. Построим график функции $y = \frac{8}{x}$ на промежутке $x > 2$. Это обратная пропорциональность, ее график — гипербола. Так как $x > 2$, мы строим только часть правой ветви гиперболы. Найдем значение на границе: при $x=2$, $y = \frac{8}{2}=4$. Точка $(2, 4)$ является "начальной" для этой части графика, но сама она не включается (выколотая точка). Найдем еще несколько точек: при $x=4$, $y=\frac{8}{4}=2$; при $x=8$, $y=\frac{8}{8}=1$. При $x \to \infty$, $y \to 0$.

3. Объединим графики. Поскольку на первом участке в точке $x=2$ функция принимает значение $y=4$, а на втором участке при приближении к $x=2$ справа значения функции стремятся к 4, то функция является непрерывной в точке $x=2$. График состоит из луча, доходящего до точки $(2, 4)$, и ветви гиперболы, начинающейся из этой же точки. Точка $(2, 4)$ является точкой максимума для ветви гиперболы на промежутке $(2, \infty)$, но сама функция не имеет локального максимума в этой точке, так как слева от нее функция возрастает.

4. Теперь определим, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком $y=f(x)$ ровно одну общую точку. Прямая $y=a$ — это горизонтальная прямая.

• Если $a > 4$, прямая $y=a$ проходит выше точки $(2, 4)$ и не пересекает ни луч, ни ветвь гиперболы. Общих точек нет.
• Если $a=4$, прямая $y=4$ проходит через точку $(2, 4)$. Это единственная точка пересечения.
• Если $0 < a < 4$, прямая $y=a$ пересекает и луч $y=x+2$ (так как $a<4$), и ветвь гиперболы $y=8/x$ (так как $a>0$). Будет две общие точки.
• Если $a=0$, прямая $y=0$ (ось Ox) пересекает луч $y=x+2$ в точке $x=-2$. Ветвь гиперболы $y=8/x$ асимптотически приближается к оси Ox, но не пересекает ее. Следовательно, одна общая точка.
• Если $a < 0$, прямая $y=a$ пересекает луч $y=x+2$ в одной точке и не пересекает ветвь гиперболы, так как для $x>2$ значения $y=8/x$ всегда положительны. Следовательно, одна общая точка.

Таким образом, прямая $y=a$ имеет с графиком одну общую точку при $a \le 0$ и при $a=4$.

Ответ: $a \in (-\infty, 0] \cup \{4\}$.

б)

Функция задана кусочно: $f(x) = \begin{cases} -x-1 & \text{при } x \le 2 \\ \frac{6}{x} & \text{при } x > 2 \end{cases}$

1. Построим график функции $y = -x-1$ на промежутке $x \le 2$. Это линейная функция. Крайняя точка: при $x=2$, $y(2)=-2-1=-3$. Точка $(2, -3)$ принадлежит графику. Возьмем еще одну точку, например, $x=0$, $y(0)=-1$. Графиком является луч, проходящий через точки $(0, -1)$ и $(2, -3)$ и идущий влево и вверх. Область значений этой части функции: $[-3, \infty)$.

2. Построим график функции $y = \frac{6}{x}$ на промежутке $x > 2$. Это обратная пропорциональность, ее график — гипербола. Найдем значение на границе: при $x=2$, $y = \frac{6}{2}=3$. Точка $(2, 3)$ является "начальной" для этой части графика, но не включается (выколотая точка). Найдем еще несколько точек: при $x=3$, $y=\frac{6}{3}=2$; при $x=6$, $y=\frac{6}{6}=1$. При $x \to \infty$, $y \to 0$. Область значений этой части функции: $(0, 3)$.

3. Объединим графики. В точке $x=2$ функция имеет разрыв: $f(2)=-3$, а $\lim_{x\to 2^+} f(x) = 3$. График состоит из луча, заканчивающегося в точке $(2, -3)$, и ветви гиперболы, начинающейся из выколотой точки $(2, 3)$.

4. Определим, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком $y=f(x)$ ровно две общие точки.

• Если $a \ge 3$, прямая $y=a$ пересекает только луч $y=-x-1$ в одной точке. Ветвь гиперболы $y=6/x$ находится ниже прямой $y=3$ (или на границе, но точка выколота), поэтому пересечений с ней нет. Одна общая точка.
• Если $0 < a < 3$, прямая $y=a$ пересекает луч $y=-x-1$ (так как $a > -3$) в одной точке. Также она пересекает ветвь гиперболы $y=6/x$ (так как $0 < a < 3$) в одной точке. Итого две общие точки.
• Если $-3 \le a \le 0$, прямая $y=a$ пересекает луч $y=-x-1$ в одной точке. Ветвь гиперболы находится выше оси Ox, поэтому пересечений с ней нет. Одна общая точка.
• Если $a < -3$, прямая $y=a$ проходит ниже всего графика и не имеет с ним общих точек.

Таким образом, прямая $y=a$ имеет с графиком две общие точки, только если $a$ находится в интервале $(0, 3)$.

Ответ: $a \in (0, 3)$.