Номер 5.67, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.5. Функция у = k/x. Глава 5. Функции - номер 5.67, страница 239.

Условие.

5.67 1) Найдите координаты точек с равными абсциссой и ординатой, через которые проходит график функции:

а) $y = \frac{16}{x}$;

б) $y = \frac{3}{x}$.

2) Определите координаты точек, в которых:

а) биссектриса I и III координатных углов пересекает график функции $y = \frac{6}{x}$;

б) биссектриса II и IV координатных углов пересекает график функции $y = -\frac{15}{x}$.

Решение 3.

Решение 4.

1) а)

Условие "точки с равными абсциссой и ординатой" означает, что мы ищем точки $(x, y)$, для которых выполняется равенство $x = y$. Эти точки также должны принадлежать графику функции $y = \frac{16}{x}$. Чтобы найти координаты таких точек, необходимо решить систему уравнений:
$\begin{cases} y = \frac{16}{x} \\ y = x \end{cases}$
Подставим второе уравнение в первое, заменив $y$ на $x$:
$x = \frac{16}{x}$
Умножим обе части уравнения на $x$, так как из определения функции следует, что $x \neq 0$:
$x \cdot x = 16$
$x^2 = 16$
Это уравнение имеет два корня:
$x_1 = \sqrt{16} = 4$
$x_2 = -\sqrt{16} = -4$
Поскольку $y = x$, то для каждого значения $x$ соответствующее значение $y$ будет таким же. Таким образом, мы получаем две точки:
При $x_1 = 4$, $y_1 = 4$. Координаты первой точки $(4, 4)$.
При $x_2 = -4$, $y_2 = -4$. Координаты второй точки $(-4, -4)$.

Ответ: $(4, 4)$, $(-4, -4)$.

1) б)

Аналогично предыдущему пункту, ищем точки на графике функции $y = \frac{3}{x}$, где $x=y$. Составляем и решаем систему уравнений:
$\begin{cases} y = \frac{3}{x} \\ y = x \end{cases}$
Подставляем $y=x$ в уравнение функции:
$x = \frac{3}{x}$
$x^2 = 3$
Находим корни уравнения:
$x_1 = \sqrt{3}$
$x_2 = -\sqrt{3}$
Так как $y = x$, то координаты искомых точек: $(\sqrt{3}, \sqrt{3})$ и $(-\sqrt{3}, -\sqrt{3})$.

Ответ: $(\sqrt{3}, \sqrt{3})$, $(-\sqrt{3}, -\sqrt{3})$.

2) а)

Биссектриса I и III координатных углов — это прямая, каждая точка которой равноудалена от осей координат и находится в I или III четверти. Все точки на этой прямой имеют равные координаты, поэтому ее уравнение $y = x$.
Чтобы найти точки пересечения этой биссектрисы с графиком функции $y = \frac{6}{x}$, нужно найти общие решения для их уравнений, то есть решить систему:
$\begin{cases} y = \frac{6}{x} \\ y = x \end{cases}$
Приравниваем правые части уравнений:
$x = \frac{6}{x}$
$x^2 = 6$
$x_1 = \sqrt{6}$ и $x_2 = -\sqrt{6}$.
Поскольку $y = x$, то искомые точки пересечения имеют координаты $(\sqrt{6}, \sqrt{6})$ и $(-\sqrt{6}, -\sqrt{6})$.

Ответ: $(\sqrt{6}, \sqrt{6})$, $(-\sqrt{6}, -\sqrt{6})$.

2) б)

Биссектриса II и IV координатных углов — это прямая, у которой для каждой точки ордината равна абсциссе, взятой с противоположным знаком. Уравнение этой прямой: $y = -x$.
Чтобы найти точки пересечения этой прямой с графиком функции $y = -\frac{15}{x}$, решаем систему уравнений:
$\begin{cases} y = -\frac{15}{x} \\ y = -x \end{cases}$
Приравниваем правые части уравнений:
$-x = -\frac{15}{x}$
Умножим обе части на $-1$:
$x = \frac{15}{x}$
$x^2 = 15$
Находим значения $x$:
$x_1 = \sqrt{15}$ и $x_2 = -\sqrt{15}$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = -x$:
Если $x_1 = \sqrt{15}$, то $y_1 = -\sqrt{15}$. Первая точка: $(\sqrt{15}, -\sqrt{15})$.
Если $x_2 = -\sqrt{15}$, то $y_2 = -(-\sqrt{15}) = \sqrt{15}$. Вторая точка: $(-\sqrt{15}, \sqrt{15})$.

Ответ: $(\sqrt{15}, -\sqrt{15})$, $(-\sqrt{15}, \sqrt{15})$.