Номер 5.60, страница 238 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.5. Функция у = k/x. Глава 5. Функции - номер 5.60, страница 238.

Условие.

5.60 Постройте график функции $f(x) = -\frac{4}{x}$. По графику определите:

a) $f(5); f(-5); f(8); f(-8);$

б) значение $x$, при котором $f(x) = 8; f(x) = -8; f(x) = 6; f(x) = -6;$

в) возрастает или убывает функция при $x > 0$; при $x < 0;$

г) на каком промежутке значения функции положительны.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Функция $f(x) = -\frac{4}{x}$ является обратной пропорциональностью. График этой функции — гипербола. Так как коэффициент перед $x$ отрицательный ($k = -4$), ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат. Для построения графика найдем несколько точек:

Для ветви в IV четверти (при $x > 0$): если $x=1$, то $y=-4$; если $x=2$, то $y=-2$; если $x=4$, то $y=-1$.

Для ветви во II четверти (при $x < 0$): если $x=-1$, то $y=4$; если $x=-2$, то $y=2$; если $x=-4$, то $y=1$.

Соединив точки плавными линиями, получим график функции. Используя этот график, ответим на вопросы.

а) Для нахождения значения функции по графику для заданного $x$, необходимо найти эту точку на оси абсцисс, провести из нее вертикальную линию до пересечения с графиком, а затем из точки пересечения — горизонтальную линию до оси ординат. Точка пересечения с осью ординат и будет искомым значением функции. Для большей точности проведем вычисления.

$f(5) = -\frac{4}{5} = -0.8$

$f(-5) = -\frac{4}{-5} = \frac{4}{5} = 0.8$

$f(8) = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2} = -0.5$

$f(-8) = -\frac{4}{-8} = \frac{1}{2} = 0.5$

Ответ: $f(5)=-0.8$; $f(-5)=0.8$; $f(8)=-0.5$; $f(-8)=0.5$.

б) Для нахождения значения $x$ по известному значению функции $f(x)$, необходимо найти заданное значение на оси ординат, провести из него горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем из точки пересечения — вертикальную линию до оси абсцисс. Точка пересечения с осью абсцисс будет искомым значением $x$. Решим уравнения аналитически.

При $f(x) = 8$: $8 = -\frac{4}{x} \implies x = -\frac{4}{8} = -0.5$.

При $f(x) = -8$: $-8 = -\frac{4}{x} \implies x = \frac{-4}{-8} = 0.5$.

При $f(x) = 6$: $6 = -\frac{4}{x} \implies x = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$.

При $f(x) = -6$: $-6 = -\frac{4}{x} \implies x = \frac{-4}{-6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $f(x)=8$ при $x = -0.5$; $f(x)=-8$ при $x = 0.5$; $f(x)=6$ при $x = -\frac{2}{3}$; $f(x)=-6$ при $x = \frac{2}{3}$.

в) Чтобы определить монотонность функции, нужно посмотреть, как изменяются значения $y$ при увеличении $x$ (двигаясь по графику слева направо).

На промежутке $x > 0$ (IV четверть), при увеличении $x$ (например, от 1 до 4), значение $y$ увеличивается (от -4 до -1). Значит, функция возрастает при $x > 0$.

На промежутке $x < 0$ (II четверть), при увеличении $x$ (например, от -4 до -1), значение $y$ также увеличивается (от 1 до 4). Значит, функция возрастает и при $x < 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

г) Значения функции положительны ($f(x) > 0$), когда ее график расположен выше оси абсцисс ($Ox$). По графику видно, что это происходит для ветви, расположенной во второй координатной четверти.

Для этой ветви значения $x$ являются отрицательными. Аналитически это можно найти, решив неравенство: $-\frac{4}{x} > 0$. Дробь будет положительной, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Так как числитель -4 отрицательный, знаменатель $x$ также должен быть отрицательным, то есть $x < 0$.

Ответ: значения функции положительны на промежутке $(-\infty; 0)$.