Номер 5.59, страница 238 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.5. Функция у = k/x. Глава 5. Функции - номер 5.59, страница 238.

Условие.

5.59 Постройте график функции $y = \frac{8}{x}$. По графику определите:

а) возрастает или убывает функция при $x > 0$; при $x < 0;

б) на каком промежутке значения функции отрицательны;

в) значение $y$ при $x = 2,5$; $-2,5;

г) значение $x$, при котором $y = 5$; $-5$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Функция $y=\frac{8}{x}$ является обратной пропорциональностью. Её график — гипербола, состоящая из двух ветвей. Так как коэффициент $k=8>0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Ось абсцисс ($y=0$) и ось ординат ($x=0$) являются асимптотами графика. Для построения графика найдем несколько точек, принадлежащих ему:

• при $x = 1, y = \frac{8}{1} = 8$
• при $x = 2, y = \frac{8}{2} = 4$
• при $x = 4, y = \frac{8}{4} = 2$
• при $x = 8, y = \frac{8}{8} = 1$
• при $x = -1, y = \frac{8}{-1} = -8$
• при $x = -2, y = \frac{8}{-2} = -4$
• при $x = -4, y = \frac{8}{-4} = -2$
• при $x = -8, y = \frac{8}{-8} = -1$

Построив график по этим точкам, определим требуемые значения.

а) возрастает или убывает функция при x > 0; при x < 0;

Рассмотрим ветвь графика в I четверти, где $x > 0$. При увеличении значений $x$ (двигаясь по графику вправо), соответствующие значения $y$ уменьшаются. Например, при увеличении $x$ от 1 до 4, значение $y$ уменьшается с 8 до 2. Следовательно, на промежутке $(0; +\infty)$ функция убывает.
Рассмотрим ветвь графика в III четверти, где $x < 0$. При увеличении значений $x$ (двигаясь по графику вправо), соответствующие значения $y$ также уменьшаются. Например, при увеличении $x$ от -4 до -1, значение $y$ уменьшается с -2 до -8. Следовательно, на промежутке $(-\infty; 0)$ функция также убывает.
Ответ: функция убывает при $x > 0$ и при $x < 0$.

б) на каком промежутке значения функции отрицательны;

Значения функции отрицательны ($y < 0$), когда её график расположен ниже оси абсцисс ($Ox$). Это соответствует ветви гиперболы, расположенной в III координатной четверти. Для всех точек этой ветви абсциссы $x$ отрицательны.
Ответ: значения функции отрицательны на промежутке $(-\infty; 0)$.

в) значение y при x = 2,5; -2,5;

Чтобы найти значение $y$ при заданном $x$, нужно подставить это значение в формулу функции.
При $x = 2,5$: $y = \frac{8}{2,5} = \frac{80}{25} = \frac{16}{5} = 3,2$.
При $x = -2,5$: $y = \frac{8}{-2,5} = -\frac{80}{25} = -\frac{16}{5} = -3,2$.
Ответ: при $x=2,5$ значение $y=3,2$; при $x=-2,5$ значение $y=-3,2$.

г) значение x, при котором y = 5; -5.

Чтобы найти значение $x$ при заданном $y$, нужно подставить это значение в формулу функции и решить полученное уравнение.
При $y = 5$: $5 = \frac{8}{x}$, откуда $x = \frac{8}{5} = 1,6$.
При $y = -5$: $-5 = \frac{8}{x}$, откуда $x = \frac{8}{-5} = -1,6$.
Ответ: $y=5$ при $x=1,6$; $y=-5$ при $x=-1,6$.