Номер 2, страница 237 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.5. Функция у = k/x. Вопросы к параграфу. Глава 5. Функции - номер 2, страница 237.

Условие.

Опираясь на график функции $y=\frac{12}{x}$, изображённый на рисунке 5.35, опи-шите особенности графика функции $y=\frac{k}{x}$ при $k > 0$.

Решение 3.

Решение 4.

Функция вида $y = \frac{k}{x}$ при $k > 0$ называется обратной пропорциональностью. Её график — гипербола. На примере функции $y = \frac{12}{x}$ ($k = 12 > 0$) рассмотрим основные особенности (свойства) графика такой функции.

1. Область определения и область значений

Функция определена для всех значений аргумента $x$, кроме тех, которые обращают знаменатель в ноль. Поэтому область определения $D(y)$: $x \neq 0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.Значение функции $y$ никогда не может быть равно нулю, так как числитель $k \neq 0$. Поэтому область значений $E(y)$: $y \neq 0$, то есть $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: Область определения: все действительные числа, кроме 0. Область значений: все действительные числа, кроме 0.

2. Расположение и вид графика

График функции представляет собой гиперболу, состоящую из двух ветвей. Поскольку по условию $k > 0$, знаки переменных $x$ и $y$ всегда совпадают. Если $x > 0$, то и $y = \frac{k}{x} > 0$, и эта ветвь гиперболы расположена в I координатной четверти. Если $x < 0$, то и $y = \frac{k}{x} < 0$, и эта ветвь гиперболы расположена в III координатной четверти.

Ответ: График — гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

3. Асимптоты

График функции имеет две асимптоты — прямые, к которым ветви гиперболы неограниченно приближаются, но никогда их не пересекают. Горизонтальной асимптотой является ось абсцисс (прямая $y = 0$), так как при неограниченном увеличении или уменьшении $x$ ($x \to \pm\infty$), значение $y$ стремится к нулю ($y \to 0$). Вертикальной асимптотой является ось ординат (прямая $x = 0$), так как при приближении $x$ к нулю, значение $y$ неограниченно возрастает по модулю ($y \to \pm\infty$).

Ответ: Горизонтальная асимптота — ось Ox ($y=0$), вертикальная асимптота — ось Oy ($x=0$).

4. Монотонность

Функция является убывающей на каждом из интервалов своей области определения. На интервале $(-\infty; 0)$ функция убывает (при увеличении $x$ от $-\infty$ до 0, значения $y$ уменьшаются от 0 до $-\infty$). На интервале $(0; +\infty)$ функция также убывает (при увеличении $x$ от 0 до $+\infty$, значения $y$ уменьшаются от $+\infty$ до 0). Важно отметить, что функция не является убывающей на всей области определения из-за разрыва в точке $x=0$.

Ответ: Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0)$ и на промежутке $(0; +\infty)$.

5. Симметрия

Функция $y = \frac{k}{x}$ является нечётной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = \frac{k}{-x} = -\frac{k}{x} = -y(x)$. Это означает, что график функции симметричен относительно начала координат (точки $(0; 0)$).

Ответ: График симметричен относительно начала координат. Функция нечётная.

6. Точки пересечения с осями координат

Так как $x$ не может быть равно 0 (знаменатель не может быть нулем), график не пересекает ось ординат (Oy). Так как $y = \frac{k}{x}$ может быть равно 0 только если $k=0$, а у нас $k>0$, то график не пересекает и ось абсцисс (Ox).

Ответ: График не имеет точек пересечения с осями координат.