Номер 5.52, страница 233 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.4. Линейная функция. Глава 5. Функции - номер 5.52, страница 233.

Условие.

5.52 Постройте график функции:

а) $y = \begin{cases} -\frac{1}{2}x, & \text{если } x \le 0 \\ 2x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -x-1, & \text{если } x \le 1 \\ -2, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Данная функция является кусочно-заданной. Чтобы построить её график, рассмотрим каждый промежуток отдельно.

1. На промежутке $x \le 0$ функция задана формулой $y = -\frac{1}{2}x$. Это линейная функция, её график — часть прямой, а именно луч. Для построения этого луча найдём координаты двух точек.

Возьмём граничную точку $x = 0$. Тогда $y = -\frac{1}{2} \cdot 0 = 0$. Получаем точку $(0, 0)$. Поскольку условие $x \le 0$ нестрогое, эта точка принадлежит графику.

Возьмём ещё одну точку из этого промежутка, например, $x = -4$. Тогда $y = -\frac{1}{2} \cdot (-4) = 2$. Получаем точку $(-4, 2)$.

Итак, при $x \le 0$ график — это луч, выходящий из точки $(0, 0)$ и проходящий через точку $(-4, 2)$.

2. На промежутке $x > 0$ функция задана формулой $y = 2x$. Это также линейная функция, её график — луч. Построим его по двум точкам.

Возьмём граничную точку $x = 0$. Тогда $y = 2 \cdot 0 = 0$. Точка $(0, 0)$ является началом луча, но, так как условие $x > 0$ строгое, она не принадлежит этой части графика (изображается «выколотой» точкой).

Возьмём ещё одну точку из этого промежутка, например, $x = 1$. Тогда $y = 2 \cdot 1 = 2$. Получаем точку $(1, 2)$.

Итак, при $x > 0$ график — это луч, выходящий из точки $(0, 0)$ и проходящий через точку $(1, 2)$.

3. Совместим обе части. Первый луч заканчивается в точке $(0, 0)$, а второй начинается в той же точке. Таким образом, график является непрерывной линией, состоящей из двух лучей, исходящих из начала координат.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, выходящих из точки $(0, 0)$. Для $x \le 0$ это луч, проходящий через точку $(-4, 2)$. Для $x > 0$ это луч, проходящий через точку $(1, 2).

б) Данная функция также является кусочно-заданной. Построим её график по частям.

1. На промежутке $x \le 1$ функция задана формулой $y = -x - 1$. Это линейная функция, её график — луч. Для построения найдём две точки.

Возьмём граничную точку $x = 1$. Тогда $y = -1 - 1 = -2$. Получаем точку $(1, -2)$. Поскольку условие $x \le 1$ нестрогое, эта точка является концом луча и принадлежит графику.

Возьмём ещё одну точку, например, $x = 0$. Тогда $y = -0 - 1 = -1$. Получаем точку $(0, -1)$.

Итак, при $x \le 1$ график — это луч, который заканчивается в точке $(1, -2)$ и проходит через точку $(0, -1)$.

2. На промежутке $x > 1$ функция задана формулой $y = -2$. Это постоянная функция, её график — горизонтальный луч.

Все точки этого луча имеют ординату $-2$. Луч начинается от точки с абсциссой $x=1$. Однако, поскольку условие $x>1$ строгое, начальная точка $(1, -2)$ этому лучу не принадлежит (изображается «выколотой» точкой).

3. Совместим обе части. Первый луч заканчивается в точке $(1, -2)$, а второй, горизонтальный, начинается из этой же точки. Так как точка $(1, -2)$ принадлежит первой части графика, разрыва в этой точке нет. График является непрерывной линией.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, соединённых в точке $(1, -2)$. При $x \le 1$ это луч, являющийся частью прямой $y=-x-1$ и проходящий через точку $(0,-1)$. При $x > 1$ это горизонтальный луч $y=-2$.