Номер 5.49, страница 233 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.4. Линейная функция. Глава 5. Функции - номер 5.49, страница 233.

Условие.

5.49 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Андрей планирует поработать во время летних каникул, и у него есть две возможности. На работе А он будет получать 500 р. в день. На работе В он в первый день получит 250 р., а затем ежедневно будет получать 50 р. Какой вариант выгоднее? Составьте формулу зависимости полученной суммы денег $y$ от числа рабочих дней $x$ для вариантов А и В. В одной системе координат постройте прямые, которым принадлежат точки графика каждой из функций, и отметьте эти точки для $1 \le x \le 5$. Существуют ли значения $x$, при которых значения $y$ равны?

Решение 1.

Решение 4.

Для решения задачи последовательно ответим на все поставленные вопросы.

Составьте формулу зависимости полученной суммы денег y от числа рабочих дней x для вариантов А и В.

Для каждого варианта работы составим математическую модель, описывающую зависимость общего заработка $y$ от количества отработанных дней $x$.

Вариант А:
На работе А Андрей получает фиксированную сумму — 500 рублей в день. Таким образом, общая сумма $y_A$ за $x$ дней вычисляется как произведение дневной ставки на количество дней. Формула для варианта А: $y_A = 500x$

Вариант В:
На работе В оплата устроена иначе. В первый день ($x=1$) Андрей получает 250 рублей. В каждый из последующих ($x-1$) дней он получает по 50 рублей. Общая сумма $y_B$ за $x$ дней будет складываться из выплаты за первый день и суммарной выплаты за все остальные дни. $y_B = (\text{оплата за 1-й день}) + (\text{оплата за последующие дни})$ $y_B = 250 + 50 \cdot (x-1)$ Упростим это выражение, раскрыв скобки: $y_B = 250 + 50x - 50$ Формула для варианта В: $y_B = 50x + 200$

Ответ: Формула для варианта А: $y = 500x$. Формула для варианта В: $y = 50x + 200$.

Существуют ли значения x, при которых значения y равны?

Чтобы найти, при каком количестве дней $x$ заработок в обоих вариантах будет одинаковым, необходимо приравнять полученные формулы для $y_A$ и $y_B$. $y_A = y_B$ $500x = 50x + 200$ Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону: $500x - 50x = 200$ $450x = 200$ $x = \frac{200}{450} = \frac{20}{45} = \frac{4}{9}$

Математически, заработок будет равным, если Андрей отработает $\frac{4}{9}$ дня (это меньше половины рабочего дня). Однако, в контексте задачи "рабочие дни" обычно подразумевают целые числа. Если рассматривать только целые значения $x$ (1, 2, 3, ...), то такого дня, когда заработок будет одинаковым, не существует.

Ответ: Да, существует значение $x = \frac{4}{9}$, при котором полученные суммы равны. Для целого числа рабочих дней такого значения не существует.

Какой вариант выгоднее?

Чтобы определить, какой вариант выгоднее, нам нужно сравнить $y_A$ и $y_B$ для $x \ge 1$. Мы уже нашли точку, где заработки равны: $x = 4/9$. Сравним функции, решив неравенство $y_A > y_B$: $500x > 50x + 200$ $450x > 200$ $x > \frac{4}{9}$

Это неравенство показывает, что заработок по варианту А будет выше, если количество отработанных дней больше, чем $4/9$. Поскольку по условию задачи нас интересуют рабочие дни, а наименьшее возможное их количество — это 1, и $1 > 4/9$, то вариант А всегда будет выгоднее. Например, за первый же день:

• Вариант А: $y_A = 500 \cdot 1 = 500$ р.
• Вариант В: $y_B = 50 \cdot 1 + 200 = 250$ р.

$500 > 250$, следовательно, вариант А выгоднее уже с первого дня.

Ответ: Вариант А выгоднее при любом количестве рабочих дней $x \ge 1$.

В одной системе координат постройте прямые, которым принадлежат точки графика каждой из функций, и отметьте эти точки для 1 ≤ x ≤ 5.

Построим графики линейных функций $y = 500x$ (вариант А) и $y = 50x + 200$ (вариант В). Ось абсцисс ($Ox$) будет соответствовать количеству дней, а ось ординат ($Oy$) — сумме денег в рублях. Вычислим координаты точек для $x$ от 1 до 5.

Точки для варианта А ($y = 500x$):

• $x=1, y=500 \rightarrow (1; 500)$
• $x=2, y=1000 \rightarrow (2; 1000)$
• $x=3, y=1500 \rightarrow (3; 1500)$
• $x=4, y=2000 \rightarrow (4; 2000)$
• $x=5, y=2500 \rightarrow (5; 2500)$

Точки для варианта В ($y = 50x + 200$):

• $x=1, y=250 \rightarrow (1; 250)$
• $x=2, y=300 \rightarrow (2; 300)$
• $x=3, y=350 \rightarrow (3; 350)$
• $x=4, y=400 \rightarrow (4; 400)$
• $x=5, y=450 \rightarrow (5; 450)$

Ниже представлен график, построенный в одной системе координат.

На графике синяя линия и точки соответствуют варианту А, а красная линия и точки — варианту B. Как видно из графика, прямая для варианта А ($y = 500x$) имеет больший угол наклона и проходит выше прямой для варианта В ($y = 50x+200$) на всём рассматриваемом промежутке $1 \le x \le 5$.

Ответ: График с отмеченными прямыми и точками представлен выше.