Номер 5.43, страница 232 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.4. Линейная функция. Глава 5. Функции - номер 5.43, страница 232.

Условие.

5.43 Николай заработал в каникулы 20 000 р., работая на почте. Он тратит эти деньги в среднем по 500 р. в день. Запишите формулу, выражающую зависимость оставшейся у него суммы денег $y$ от числа прошедших дней $x$. Объясните, почему эта функция является линейной. Укажите область определения функции. Возрастающей или убывающей является функция? Найдите значение функции при $x=1$; $10$; $25$. В каждом случае объясните с точки зрения условия, что вы находите.

Решение 1.

Решение 4.

Запишите формулу, выражающую зависимость оставшейся у него суммы денег y от числа прошедших дней x.
Пусть $y$ — оставшаяся сумма денег в рублях, а $x$ — количество прошедших дней. Изначально у Николая было 20 000 рублей. Каждый день он тратит 500 рублей, значит, за $x$ дней он потратит $500 \cdot x$ рублей. Чтобы найти оставшуюся сумму $y$, нужно вычесть из начальной суммы общую сумму трат за $x$ дней. Таким образом, зависимость выражается формулой:
$y = 20000 - 500x$
Ответ: $y = 20000 - 500x$.

Объясните, почему эта функция является линейной.
Линейной называется функция вида $y = kx + b$, где $k$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты), а $x$ — независимая переменная. Полученную формулу $y = 20000 - 500x$ можно представить в стандартном виде линейной функции, поменяв слагаемые местами: $y = -500x + 20000$. В данном случае угловой коэффициент $k = -500$, а свободный член (точка пересечения с осью y) $b = 20000$. Так как функция соответствует виду $y = kx + b$, она является линейной.
Ответ: Функция является линейной, так как её можно привести к виду $y = kx + b$, где $k=-500$ и $b=20000$.

Укажите область определения функции.
Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. В контексте задачи $x$ представляет количество дней, поэтому оно не может быть отрицательным: $x \ge 0$. С другой стороны, траты прекратятся, когда закончатся деньги, то есть когда оставшаяся сумма $y$ станет равной нулю. Сумма не может быть отрицательной, поэтому $y \ge 0$. Решим неравенство:
$20000 - 500x \ge 0$
$20000 \ge 500x$
$x \le \frac{20000}{500}$
$x \le 40$
Объединяя оба условия, получаем, что $x$ может принимать значения от 0 до 40 включительно.
Ответ: Область определения функции $D(y) = [0; 40]$.

Возрастающей или убывающей является функция?
В уравнении линейной функции $y = kx + b$ за возрастание или убывание отвечает угловой коэффициент $k$. Если $k > 0$, функция возрастает. Если $k < 0$, функция убывает. В нашей функции $y = -500x + 20000$ коэффициент $k = -500$. Так как $k < 0$, функция является убывающей. Это логично и с точки зрения условия задачи: с каждым новым днем (увеличением $x$) количество денег у Николая (значение $y$) уменьшается.
Ответ: Функция является убывающей.

Найдите значение функции при x = 1; 10; 25. В каждом случае объясните с точки зрения условия, что вы находите.
Для нахождения значений функции подставляем соответствующие значения $x$ в формулу $y = 20000 - 500x$.

При $x = 1$:
$y = 20000 - 500 \cdot 1 = 19500$.
Это означает, что через 1 день у Николая останется 19 500 рублей.
Ответ: При $x = 1$, $y = 19500$. Это остаток денег у Николая после первого дня трат.

При $x = 10$:
$y = 20000 - 500 \cdot 10 = 20000 - 5000 = 15000$.
Это означает, что через 10 дней у Николая останется 15 000 рублей.
Ответ: При $x = 10$, $y = 15000$. Это остаток денег у Николая после десяти дней трат.

При $x = 25$:
$y = 20000 - 500 \cdot 25 = 20000 - 12500 = 7500$.
Это означает, что через 25 дней у Николая останется 7 500 рублей.
Ответ: При $x = 25$, $y = 7500$. Это остаток денег у Николая после двадцати пяти дней трат.