Номер 3, страница 231 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.4. Линейная функция. Вопросы к параграфу. Глава 5. Функции - номер 3, страница 231.

Условие.

Среди линейных функций, заданных формулами $y = 2x + 3$, $y = -\frac{1}{3}x$, $y = -x + 4$, $y = 5x$, найдите возрастающие функции и убывающие функции. Покажите схематически, как расположены графики этих функций на координатной плоскости.

Решение 1.

Решение 4.

Найдем возрастающие и убывающие функции

Линейная функция задается формулой $y = kx + b$. Характер монотонности функции (возрастание или убывание) определяется знаком углового коэффициента $k$.

• Если $k > 0$, то функция является возрастающей.
• Если $k < 0$, то функция является убывающей.

Проанализируем каждую из заданных функций:

1. Для функции $y = 2x + 3$ угловой коэффициент $k = 2$. Так как $2 > 0$, функция является возрастающей.

2. Для функции $y = -\frac{1}{3}x$ угловой коэффициент $k = -\frac{1}{3}$. Так как $-\frac{1}{3} < 0$, функция является убывающей.

3. Для функции $y = -x + 4$ угловой коэффициент $k = -1$. Так как $-1 < 0$, функция является убывающей.

4. Для функции $y = 5x$ угловой коэффициент $k = 5$. Так как $5 > 0$, функция является возрастающей.

Ответ:
Возрастающие функции: $y = 2x + 3$ и $y = 5x$.
Убывающие функции: $y = -\frac{1}{3}x$ и $y = -x + 4$.

Покажем схематически, как расположены графики этих функций на координатной плоскости

Для схематического изображения расположения графиков определим для каждой функции ее угловой коэффициент $k$ (отвечает за наклон графика) и коэффициент $b$ (показывает точку пересечения графика с осью ординат $OY$).

Возрастающие функции (графики "идут вверх" слева направо):

• $y = 5x$: $k = 5, b = 0$. График проходит через начало координат $(0,0)$. Угол наклона к положительному направлению оси $OX$ острый и самый большой среди данных функций (график самый "крутой"). Расположен в I и III координатных четвертях.
• $y = 2x + 3$: $k = 2, b = 3$. График пересекает ось $OY$ в точке $(0,3)$. Угол наклона к оси $OX$ также острый, но меньше, чем у функции $y=5x$. График расположен в I, II и III координатных четвертях.

Убывающие функции (графики "идут вниз" слева направо):

• $y = -x + 4$: $k = -1, b = 4$. График пересекает ось $OY$ в точке $(0,4)$. Угол наклона к положительному направлению оси $OX$ тупой. График расположен в I, II и IV координатных четвертях.
• $y = -\frac{1}{3}x$: $k = -\frac{1}{3}, b = 0$. График проходит через начало координат $(0,0)$. Угол наклона тупой, но график более пологий, чем у $y=-x+4$. Расположен во II и IV координатных четвертях.

Схематичное расположение:

На координатной плоскости мы увидим четыре прямые. Две из них ($y=5x$ и $y=-\frac{1}{3}x$) проходят через начало координат. Две другие смещены вверх по оси $Y$: $y=2x+3$ пересекает ось в точке $(0,3)$, а $y=-x+4$ — в точке $(0,4)$. Прямые $y=5x$ и $y=2x+3$ являются возрастающими, причем $y=5x$ наклонена круче. Прямые $y=-x+4$ и $y=-\frac{1}{3}x$ являются убывающими, причем $y=-\frac{1}{3}x$ более пологая.

Ответ: Графики представляют собой четыре прямые. $y=5x$ и $y=-\frac{1}{3}x$ проходят через начало координат. $y=2x+3$ пересекает ось OY в точке (0,3). $y=-x+4$ пересекает ось OY в точке (0,4). Функции $y=2x+3$ и $y=5x$ возрастают, а $y=-\frac{1}{3}x$ и $y=-x+4$ убывают.