Номер 5.39, страница 229 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.3. График функции. Свойства функций. Глава 5. Функции - номер 5.39, страница 229.

Условие.

5.39 МОДЕЛИРУЕМ Начертите график какой-нибудь функции, обладающей следующими свойствами:

а) функция возрастает при $x \le 2$ и при $5 \le x \le 7$; убывает при $2 \le x \le 5$ и при $x \ge 7$; при $x = 2$ она принимает наибольшее значение;

б) значения функции положительны при $x < -3$ и при $x > 5$; отрицательны при $-3 < x < 5$; при $x = 0$ она принимает наименьшее значение.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для построения графика функции, обладающей заданными свойствами, проанализируем каждое из них и определим ключевые точки и интервалы поведения функции.

1. Интервалы монотонности:
- Функция возрастает на промежутках $x \le 2$ (то есть $(-\infty, 2]$) и $5 \le x \le 7$ (то есть $[5, 7]$).
- Функция убывает на промежутках $2 \le x \le 5$ (то есть $[2, 5]$) и $x \ge 7$ (то есть $[7, \infty)$).

2. Точки экстремума (максимумы и минимумы):
- В точке $x=2$ возрастание сменяется убыванием, следовательно, это точка локального максимума. В условии сказано, что в этой точке функция принимает наибольшее значение, значит, это точка глобального максимума.
- В точке $x=5$ убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка локального минимума.
- В точке $x=7$ возрастание сменяется убыванием, следовательно, это точка локального максимума.

3. Построение эскиза графика:
- Начнем с нанесения на координатную плоскость ключевых точек. Поскольку конкретные значения функции не заданы, мы можем выбрать их произвольно, соблюдая условия. Пусть наибольшее значение в точке $x=2$ равно $y=4$, то есть имеем точку максимума $A(2, 4)$.
- В точке $x=5$ находится локальный минимум. Значение функции в этой точке должно быть меньше, чем в точке $x=2$ и $x=7$. Возьмем, к примеру, $y=1$. Получаем точку минимума $B(5, 1)$.
- В точке $x=7$ находится локальный максимум. Его значение должно быть меньше или равно значению глобального максимума в точке $A(2, 4)$. Возьмем, к примеру, $y=3$. Получаем точку максимума $C(7, 3)$.
- Теперь соединим точки плавной линией в соответствии с интервалами монотонности:
-- Слева от $x=2$ (на интервале $(-\infty, 2]$) рисуем кривую, поднимающуюся до точки $A(2, 4)$.
-- Между $x=2$ и $x=5$ (на интервале $[2, 5]$) рисуем кривую, опускающуюся от $A(2, 4)$ к $B(5, 1)$.
-- Между $x=5$ и $x=7$ (на интервале $[5, 7]$) рисуем кривую, поднимающуюся от $B(5, 1)$ к $C(7, 3)$.
-- Справа от $x=7$ (на интервале $[7, \infty)$) рисуем кривую, опускающуюся от $C(7, 3)$ и уходящую вниз.

Ответ: Эскиз графика представляет собой волнистую кривую. Двигаясь слева направо, график поднимается до своей наивысшей точки (глобального максимума) при $x=2$. Затем он опускается до точки локального минимума при $x=5$. После этого график снова поднимается до точки локального максимума при $x=7$ (эта вершина расположена ниже, чем первая). Наконец, при $x>7$ график непрерывно убывает.

б)

Проанализируем свойства функции, чтобы построить ее график.

1. Знаки функции:
- Функция положительна ($f(x) > 0$) при $x < -3$ и при $x > 5$. Это означает, что на интервалах $(-\infty, -3)$ и $(5, \infty)$ график функции находится выше оси абсцисс ($Ox$).
- Функция отрицательна ($f(x) < 0$) при $-3 < x < 5$. Это означает, что на интервале $(-3, 5)$ график находится ниже оси абсцисс.

2. Нули функции:
- Из смены знаков следует, что функция пересекает ось абсцисс в точках $x = -3$ и $x = 5$. То есть, $f(-3) = 0$ и $f(5) = 0$.

3. Точка минимума:
- При $x = 0$ функция принимает наименьшее значение. Это означает, что в точке $x=0$ находится точка глобального минимума. Поскольку на интервале $(-3, 5)$ функция отрицательна, значение в точке минимума $f(0)$ должно быть отрицательным.

4. Построение эскиза графика:
- Отметим на оси $Ox$ нули функции: точки $D(-3, 0)$ и $E(5, 0)$.
- Точка минимума находится при $x=0$. Выберем для нее произвольное отрицательное значение, например, $y=-4$. Получаем точку глобального минимума $F(0, -4)$.
- Теперь рисуем график:
-- На интервале $(-\infty, -3)$ график находится выше оси $Ox$. Он убывает, приближаясь к точке $D(-3, 0)$.
-- Пересекая ось в точке $D(-3, 0)$, график уходит в отрицательную область. Поскольку в точке $x=0$ находится минимум, функция продолжает убывать на интервале $(-3, 0)$ до точки $F(0, -4)$.
-- От точки минимума $F(0, -4)$ функция начинает возрастать. Она остается отрицательной на интервале $(0, 5)$, поднимаясь до точки $E(5, 0)$.
-- Пересекая ось в точке $E(5, 0)$, график уходит в положительную область и продолжает возрастать на интервале $(5, \infty)$.

Ответ: График функции пересекает ось абсцисс в точках $x = -3$ и $x = 5$. На интервале $(-3, 5)$ он находится под осью $Ox$ и имеет форму "впадины", достигая своей самой низкой точки (глобального минимума) при $x = 0$. На интервалах $(-\infty, -3)$ и $(5, \infty)$ график расположен над осью $Ox$.