Номер 5.37, страница 228 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.3. График функции. Свойства функций. Глава 5. Функции - номер 5.37, страница 228.

Условие.

5.37 На рисунке 5.24 изображены графики функций

$y = \frac{1}{x^2+1}$, $y = -\frac{1}{x^2+1}$, $y = \frac{3}{x^2+1}$ и $y = -\frac{3}{x^2+1}$.

Для каждого графика укажите соответствующую формулу.

Рис. 5.24

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы сопоставить графики и формулы, проанализируем свойства предложенных функций: $y = \frac{1}{x^2+1}$, $y = -\frac{1}{x^2+1}$, $y = \frac{3}{x^2+1}$ и $y = -\frac{3}{x^2+1}$.

Все функции являются четными, так как содержат $x$ только в четной степени ($x^2$). Это означает, что их графики симметричны относительно оси ординат (оси $y$), что мы и наблюдаем на всех четырех рисунках.

Знаменатель $x^2+1$ всегда положителен и достигает своего минимального значения, равного 1, при $x=0$. Следовательно, каждая функция имеет единственный экстремум (максимум или минимум) в точке $x=0$. Значение функции в этой точке определяет, какой именно график соответствует формуле.

График ①

График расположен ниже оси абсцисс ($y \le 0$), что означает, что функция принимает только отрицательные значения. Этому условию соответствуют формулы с отрицательным числителем: $y = -\frac{1}{x^2+1}$ и $y = -\frac{3}{x^2+1}$.
Из графика видно, что минимум функции достигается в точке $(0, -1)$. Найдем значение каждой из функций-кандидатов при $x=0$:
Для $y = -\frac{1}{x^2+1}$, при $x=0$ получаем $y = -\frac{1}{0^2+1} = -1$.
Для $y = -\frac{3}{x^2+1}$, при $x=0$ получаем $y = -\frac{3}{0^2+1} = -3$.
Значение $y=-1$ совпадает с точкой минимума на графике ①.

Ответ: $y = -\frac{1}{x^2+1}$

График ②

График расположен выше оси абсцисс ($y \ge 0$), что означает, что функция принимает только положительные значения. Этому условию соответствуют формулы с положительным числителем: $y = \frac{1}{x^2+1}$ и $y = \frac{3}{x^2+1}$.
Из графика видно, что максимум функции достигается в точке $(0, 1)$. Найдем значение каждой из функций-кандидатов при $x=0$:
Для $y = \frac{1}{x^2+1}$, при $x=0$ получаем $y = \frac{1}{0^2+1} = 1$.
Для $y = \frac{3}{x^2+1}$, при $x=0$ получаем $y = \frac{3}{0^2+1} = 3$.
Значение $y=1$ совпадает с точкой максимума на графике ②.

Ответ: $y = \frac{1}{x^2+1}$

График ③

График расположен выше оси абсцисс ($y \ge 0$), следовательно, функция принимает только положительные значения. Кандидаты: $y = \frac{1}{x^2+1}$ и $y = \frac{3}{x^2+1}$.
Из графика видно, что максимум функции находится в точке $(0, 3)$. Проверим, какая из функций принимает это значение при $x=0$:
Для $y = \frac{3}{x^2+1}$, при $x=0$ получаем $y = \frac{3}{0^2+1} = 3$.
Это значение совпадает с точкой максимума на графике ③.

Ответ: $y = \frac{3}{x^2+1}$

График ④

График расположен ниже оси абсцисс ($y \le 0$), следовательно, функция принимает только отрицательные значения. Кандидаты: $y = -\frac{1}{x^2+1}$ и $y = -\frac{3}{x^2+1}$.
Из графика видно, что минимум функции находится в точке $(0, -3)$. Проверим, какая из функций принимает это значение при $x=0$:
Для $y = -\frac{3}{x^2+1}$, при $x=0$ получаем $y = -\frac{3}{0^2+1} = -3$.
Это значение совпадает с точкой минимума на графике ④.

Ответ: $y = -\frac{3}{x^2+1}$