Номер 5.31, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.3. График функции. Свойства функций. Глава 5. Функции - номер 5.31, страница 227.

Условие.

a) Оси: $y$, $x$. Отметки на осях: $0$, $1$.

б) Оси: $y$, $x$. Отметки на осях: $0$, $1$.

Рис. 5.23

5.31 На рисунке 5.23 изображены графики функций, определённых на множестве всех чисел. Какие свойства каждой из функций можно выяснить с помощью её графика?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Анализ графика функции на рисунке а) позволяет определить следующие её свойства:

Область определения: так как функция определена на множестве всех чисел, её область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: график функции уходит неограниченно вверх и вниз, следовательно, область значений $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

Четность: функция является функцией общего вида, так как её график не симметричен ни относительно оси ординат (не является четной), ни относительно начала координат (не является нечетной).

Нули функции: график пересекает ось абсцисс в точках, где $y=0$. Это происходит при $x \approx -1.3$, $x=1$ и $x \approx 2.8$.

Промежутки знакопостоянства: функция принимает положительные значения ($y>0$) на интервалах $x \in (-\infty; -1.3) \cup (1; 2.8)$. Функция принимает отрицательные значения ($y<0$) на интервалах $x \in (-1.3; 1) \cup (2.8; +\infty)$.

Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -0.5]$ и $[2; +\infty)$. Функция убывает на промежутке $[-0.5; 2]$.

Экстремумы: у функции есть точка локального максимума при $x_{max} \approx -0.5$, значение в которой $y_{max} \approx 2.5$. Также есть точка локального минимума при $x_{min} \approx 2$, значение в которой $y_{min} \approx -2$.

Ответ: На основе графика можно определить область определения, область значений, свойство четности, нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания, точки экстремумов и значения функции в этих точках.

б)

Анализ графика функции на рисунке б) позволяет определить следующие её свойства:

Область определения: функция определена на множестве всех чисел, поэтому её область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: график имеет самую низкую точку (глобальный минимум) со значением $y \approx -2.5$. Следовательно, область значений функции $E(f) \approx [-2.5; +\infty)$.

Четность: функция является функцией общего вида, так как её график не обладает симметрией относительно оси ординат или начала координат.

Нули функции: график пересекает или касается оси абсцисс в точках, где $y=0$. Это происходит при $x \approx -2.4$, $x=0$, $x \approx 2.1$ и $x=3$. В точке $x=3$ график касается оси.

Промежутки знакопостоянства: функция положительна ($y>0$) при $x \in (-\infty; -2.4) \cup (0; 2.1) \cup (3; +\infty)$. Функция отрицательна ($y<0$) при $x \in (-2.4; 0) \cup (2.1; 3)$.

Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутках $[-1.5; 1]$ и $[3; +\infty)$. Функция убывает на промежутках $(-\infty; -1.5]$ и $[1; 3]$.

Экстремумы: у функции есть две точки локального минимума: при $x_{min} \approx -1.5$ (это также точка глобального минимума, $y \approx -2.5$) и при $x_{min} = 3$ ($y = 0$). Также есть точка локального максимума при $x_{max} \approx 1$, где $y_{max} \approx 2.4$.

Ответ: На основе графика можно определить область определения, область значений, свойство четности, нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания, точки экстремумов (локальных и глобальных) и значения функции в этих точках.