Номер 5.24, страница 225 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.3. График функции. Свойства функций. Глава 5. Функции - номер 5.24, страница 225.

Условие.

5.24 МОДЕЛИРУЕМ

1) Велосипедист въехал на небольшую гору. За первую минуту он преодолел при подъёме 250 м, за вторую минуту — 200 м, за третью минуту — 150 м, за четвёртую минуту — 130 м, за пятую минуту — 100 м, за шестую минуту — 80 м. Расстояние $s$ (в метрах), на котором находился велосипедист от основания горы, является функцией времени движения $t$ (в минутах). Постройте график этой функции.

2) Используя график, ответьте на вопросы:

а) На каком примерно расстоянии от подножия горы находился велосипедист через 2,5 мин; через 4,5 мин; через 6 мин?

б) За какое примерно время он преодолел расстояние, равное 350 м; равное 800 м?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Для построения графика функции зависимости расстояния $s$ (в метрах) от времени $t$ (в минутах) сначала найдем общее расстояние, пройденное велосипедистом к концу каждой минуты. Обозначим $s(t)$ расстояние от подножия горы в момент времени $t$.

• В начальный момент времени $t=0$, расстояние $s(0) = 0$ м.
• Через 1 минуту ($t=1$): $s(1) = 250$ м.
• Через 2 минуты ($t=2$): к предыдущему расстоянию добавляется 200 м. $s(2) = 250 + 200 = 450$ м.
• Через 3 минуты ($t=3$): $s(3) = 450 + 150 = 600$ м.
• Через 4 минуты ($t=4$): $s(4) = 600 + 130 = 730$ м.
• Через 5 минут ($t=5$): $s(5) = 730 + 100 = 830$ м.
• Через 6 минут ($t=6$): $s(6) = 830 + 80 = 910$ м.

Теперь мы можем построить график. На горизонтальной оси (оси абсцисс) отложим время $t$ в минутах, а на вертикальной оси (оси ординат) — расстояние $s$ в метрах. Отметим на координатной плоскости точки с полученными координатами: $(0, 0)$, $(1, 250)$, $(2, 450)$, $(3, 600)$, $(4, 730)$, $(5, 830)$, $(6, 910)$. Соединив эти точки последовательно отрезками прямых, мы получим график функции $s(t)$. Это будет ломаная линия, которая показывает, что скорость велосипедиста уменьшалась с течением времени (каждый следующий отрезок имеет меньший наклон).

2)

Используя построенный график (или выполнив вычисления, основанные на предположении о постоянной скорости в течение каждой минуты), ответим на вопросы.

а) На каком примерно расстоянии от подножия горы находился велосипедист через 2,5 мин; через 4,5 мин; через 6 мин?

- Через 2,5 мин: Время $t = 2,5$ находится посередине между $t = 2$ и $t = 3$. За третью минуту (с $t=2$ по $t=3$) велосипедист проехал 150 м. Значит, за полминуты (0,5 мин) он проехал $150 / 2 = 75$ м. Расстояние в момент $t=2,5$ будет равно расстоянию в $t=2$ плюс расстояние, пройденное за следующие 0,5 мин: $s(2,5) = s(2) + 75 = 450 + 75 = 525$ м.

- Через 4,5 мин: Время $t = 4,5$ находится посередине между $t = 4$ и $t = 5$. За пятую минуту (с $t=4$ по $t=5$) велосипедист проехал 100 м. Значит, за 0,5 мин он проехал $100 / 2 = 50$ м. Расстояние в момент $t=4,5$ будет: $s(4,5) = s(4) + 50 = 730 + 50 = 780$ м.

- Через 6 мин: Это одна из рассчитанных нами точек. $s(6) = 910$ м.

Ответ: Через 2,5 мин велосипедист находился примерно на расстоянии 525 м; через 4,5 мин — 780 м; через 6 мин — 910 м.

б) За какое примерно время он преодолел расстояние, равное 350 м; равное 800 м?

- Расстояние 350 м: Мы знаем, что $s(1) = 250$ м и $s(2) = 450$ м. Значит, расстояние в 350 м было преодолено в промежутке времени между 1-й и 2-й минутами. За вторую минуту он проехал 200 м. Чтобы проехать от 250 м до 350 м, ему нужно было преодолеть $350 - 250 = 100$ м. Время, затраченное на это, составит долю от минуты: $\frac{100 \text{ м}}{200 \text{ м/мин}} = 0,5$ мин. Общее время: $t = 1 + 0,5 = 1,5$ мин.

- Расстояние 800 м: Мы знаем, что $s(4) = 730$ м и $s(5) = 830$ м. Значит, расстояние в 800 м было преодолено между 4-й и 5-й минутами. За пятую минуту он проехал 100 м. Чтобы проехать от 730 м до 800 м, ему нужно было преодолеть $800 - 730 = 70$ м. Время, затраченное на это: $\frac{70 \text{ м}}{100 \text{ м/мин}} = 0,7$ мин. Общее время: $t = 4 + 0,7 = 4,7$ мин.

Ответ: Расстояние 350 м он преодолел примерно за 1,5 минуты; расстояние 800 м — примерно за 4,7 минуты.