Номер 2, страница 224 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.3. График функции. Свойства функций. Вопросы к параграфу. Глава 5. Функции - номер 2, страница 224.

Условие.

Используя рисунок 5.17, опишите свойства кубической параболы.

$y=x^3$

Рис. 5.17

Решение 1.

Решение 4.

• Область определения

  Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Глядя на график, мы видим, что для любого значения $x$ на числовой оси, будь то положительное, отрицательное или ноль, мы можем найти соответствующее значение $y$. График простирается бесконечно влево и вправо.

  Ответ: область определения — все действительные числа, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

• Область значений

  Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать функция $y$. График простирается бесконечно вверх и вниз, что означает, что $y$ может принимать любое действительное значение.

  Ответ: область значений — все действительные числа, то есть $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = \mathbb{R}$.

• Нули функции

  Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Это точки пересечения графика с осью абсцисс ($Ox$). Из графика видно, что график пересекает ось $Ox$ только в одной точке — начале координат.

  Ответ: $y = 0$ при $x = 0$.

• Промежутки знакопостоянства

  Это промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (положительный или отрицательный).
  - Функция положительна ($y > 0$), когда её график расположен выше оси $Ox$. Из рисунка видно, что это происходит, когда $x$ принимает положительные значения.
  - Функция отрицательна ($y < 0$), когда её график расположен ниже оси $Ox$. Это происходит, когда $x$ принимает отрицательные значения.

  Ответ: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

• Монотонность (промежутки возрастания и убывания)

  Анализируя график слева направо (с увеличением $x$), мы видим, что график постоянно идет вверх. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. Следовательно, функция является возрастающей на всей своей области определения.

  Ответ: функция возрастает на всем промежутке $(-\infty; +\infty)$.

• Четность/нечетность

  График функции симметричен относительно начала координат (точки $(0;0)$). Если взять любую точку на графике, например $(2; 8)$, то точка с противоположными координатами, то есть $(-2; -8)$, также будет лежать на графике. Это свойство характерно для нечетных функций, у которых выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

  Ответ: функция является нечетной.

• Экстремумы

  Экстремумы — это точки максимума и минимума функции. Поскольку функция монотонно возрастает и ее область значений — все действительные числа, она не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения. Локальных экстремумов (локальных пиков или впадин) у графика также нет.

  Ответ: экстремумов нет.

• Непрерывность

  График функции представляет собой сплошную, непрерывную линию без разрывов и скачков на всей области определения.

  Ответ: функция непрерывна на всей области определения.