Номер 5.17, страница 221 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.2. Что такое функция. Глава 5. Функции - номер 5.17, страница 221.

Условие.

5.17 Найдите область определения каждой из функций:

а) $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{5}{\sqrt{x}}$;

б) $y = \frac{1}{|x-2|}$ и $y = \frac{1}{|x|-2}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для функции $y = \sqrt{x}$.
Область определения функции, содержащей квадратный корень, — это множество всех значений переменной $x$, при которых выражение под корнем неотрицательно.
Запишем соответствующее неравенство:
$x \ge 0$.
Это означает, что областью определения функции является числовой промежуток от 0, включая 0, до плюс бесконечности.
Ответ: $[0, +\infty)$.

Для функции $y = \frac{5}{\sqrt{x}}$.
В этом случае на область определения накладываются два условия:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt{x} \ne 0$, что эквивалентно условию $x \ne 0$.
Объединяя оба условия ($x \ge 0$ и $x \ne 0$), получаем строгое неравенство:
$x > 0$.
Таким образом, областью определения функции является числовой промежуток от 0, не включая 0, до плюс бесконечности.
Ответ: $(0, +\infty)$.

б)

Для функции $y = \frac{1}{|x-2|}$.
Данная функция является дробно-рациональной, поэтому ее область определения — это все значения переменной $x$, при которых знаменатель не обращается в ноль.
Запишем это условие:
$|x-2| \ne 0$.
Модуль числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю. Следовательно:
$x-2 \ne 0$
$x \ne 2$.
Область определения — все действительные числа, кроме $x = 2$.
Ответ: $(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$.

Для функции $y = \frac{1}{|x|-2}$.
Аналогично предыдущему случаю, знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$|x|-2 \ne 0$.
Перенесем 2 в правую часть:
$|x| \ne 2$.
Это означает, что $x$ не может быть равен ни 2, ни -2.
$x \ne 2$ и $x \ne -2$.
Область определения — все действительные числа, кроме $x = -2$ и $x = 2$.
Ответ: $(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$.