Номер 5.16, страница 221 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.2. Что такое функция. Глава 5. Функции - номер 5.16, страница 221.

Условие.

5.16 Дана функция $y = f(x)$:

1) $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{если } x > 0 \\ 5, & \text{если } x \le 0 \end{cases}$

Найдите значение этой функции при значении аргумента, равном -3; -2; 0; 0,1; 5.

2) $f(x) = \begin{cases} x^2 - 6, & \text{если } x \ge 3 \\ 6 - x^2, & \text{если } x < 3 \end{cases}$

Найдите значение этой функции при значении аргумента, равном:

а) $\sqrt{3}$; $\sqrt{7}$; $\sqrt{10}$;

б) $2 - \sqrt{3}$; $\frac{1}{\sqrt{3}}$; $2\sqrt{3}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Дана кусочно-заданная функция: $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{если } x > 0 \\ 5, & \text{если } x \le 0 \end{cases}$
Чтобы найти значения функции, необходимо определить, какому условию ($x > 0$ или $x \le 0$) удовлетворяет значение аргумента $x$, и подставить его в соответствующую этому условию формулу.

• Вычисление $f(-3)$:
  Аргумент $x = -3$. Так как $-3 \le 0$, используем вторую формулу: $f(x) = 5$.
  Следовательно, $f(-3) = 5$.
• Вычисление $f(-2)$:
  Аргумент $x = -2$. Так как $-2 \le 0$, используем вторую формулу: $f(x) = 5$.
  Следовательно, $f(-2) = 5$.
• Вычисление $f(0)$:
  Аргумент $x = 0$. Так как $0 \le 0$, используем вторую формулу: $f(x) = 5$.
  Следовательно, $f(0) = 5$.
• Вычисление $f(0,1)$:
  Аргумент $x = 0,1$. Так как $0,1 > 0$, используем первую формулу: $f(x) = x^2 - 1$.
  $f(0,1) = (0,1)^2 - 1 = 0,01 - 1 = -0,99$.
• Вычисление $f(5)$:
  Аргумент $x = 5$. Так как $5 > 0$, используем первую формулу: $f(x) = x^2 - 1$.
  $f(5) = 5^2 - 1 = 25 - 1 = 24$.

Ответ: $f(-3)=5$; $f(-2)=5$; $f(0)=5$; $f(0,1)=-0,99$; $f(5)=24$.

2)

Дана кусочно-заданная функция: $f(x) = \begin{cases} x^2 - 6, & \text{если } x \ge 3 \\ 6 - x^2, & \text{если } x < 3 \end{cases}$

а)

Найдем значения функции для аргументов $\sqrt{3}$; $\sqrt{7}$; $\sqrt{10}$. Для каждого аргумента сначала определим, выполняется ли условие $x \ge 3$ или $x < 3$.

• Вычисление $f(\sqrt{3})$:
  Сравним $\sqrt{3}$ и 3. Так как $3 = \sqrt{9}$, а $3 < 9$, то $\sqrt{3} < 3$. Используем вторую формулу: $f(x) = 6 - x^2$.
  $f(\sqrt{3}) = 6 - (\sqrt{3})^2 = 6 - 3 = 3$.
• Вычисление $f(\sqrt{7})$:
  Сравним $\sqrt{7}$ и 3. Так как $7 < 9$, то $\sqrt{7} < 3$. Используем вторую формулу: $f(x) = 6 - x^2$.
  $f(\sqrt{7}) = 6 - (\sqrt{7})^2 = 6 - 7 = -1$.
• Вычисление $f(\sqrt{10})$:
  Сравним $\sqrt{10}$ и 3. Так как $10 > 9$, то $\sqrt{10} > 3$. Используем первую формулу: $f(x) = x^2 - 6$.
  $f(\sqrt{10}) = (\sqrt{10})^2 - 6 = 10 - 6 = 4$.

Ответ: $f(\sqrt{3})=3$; $f(\sqrt{7})=-1$; $f(\sqrt{10})=4$.

б)

Найдем значения функции для аргументов $2-\sqrt{3}$; $\frac{1}{\sqrt{3}}$; $2\sqrt{3}$.

• Вычисление $f(2-\sqrt{3})$:
  Значение $\sqrt{3}$ примерно равно $1,73$. Тогда $x = 2-\sqrt{3} \approx 2 - 1,73 = 0,27$. Так как $0,27 < 3$, используем вторую формулу: $f(x) = 6 - x^2$.
  $f(2-\sqrt{3}) = 6 - (2-\sqrt{3})^2 = 6 - (2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) = 6 - (4 - 4\sqrt{3} + 3) = 6 - (7 - 4\sqrt{3}) = 6 - 7 + 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 1$.
• Вычисление $f(\frac{1}{\sqrt{3}})$:
  Значение $x = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx \frac{1,73}{3} \approx 0,58$. Так как $0,58 < 3$, используем вторую формулу: $f(x) = 6 - x^2$.
  $f(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 6 - (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = 6 - \frac{1}{3} = \frac{18}{3} - \frac{1}{3} = \frac{17}{3}$.
• Вычисление $f(2\sqrt{3})$:
  Сравним $2\sqrt{3}$ и 3. Возведем оба числа в квадрат: $(2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$ и $3^2 = 9$. Так как $12 > 9$, то $2\sqrt{3} > 3$. Используем первую формулу: $f(x) = x^2 - 6$.
  $f(2\sqrt{3}) = (2\sqrt{3})^2 - 6 = 12 - 6 = 6$.

Ответ: $f(2-\sqrt{3})=4\sqrt{3} - 1$; $f(\frac{1}{\sqrt{3}})=\frac{17}{3}$; $f(2\sqrt{3})=6$.