Номер 2, страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.2. Что такое функция. Вопросы к параграфу. Глава 5. Функции - номер 2, страница 219.

Условие.

а) Что называют областью определения функции (фрагмент 4)?

б) Что принято считать областью определения функции, если она задана формулой и область определения специальным образом не указана? Найдите область определения функции: $f(x) = x^2 + 3x$; $f(x)=\frac{10}{x-1}$.

в) Укажите область определения функции, заданной формулой $S = a^2$, где $S$ — площадь квадрата, $a$ — длина стороны квадрата.

Решение 3.

Решение 4.

а) Областью определения функции (или множеством определения) называют множество всех значений независимой переменной (аргумента), при которых функция определена, то есть ее значение может быть вычислено. Это множество всех $x$, для которых существует соответствующее значение $f(x)$.
Ответ: Областью определения функции называют множество всех допустимых значений аргумента, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл.

б) Если функция задана формулой и ее область определения не указана специальным образом, то принято считать, что область определения состоит из всех значений аргумента, при которых эта формула имеет смысл. Это называется естественной областью определения.

Найдем область определения для заданных функций:

1) $f(x) = x^2 + 3x$
Данное выражение является многочленом. Все операции (возведение в степень, умножение, сложение) определены для любых действительных чисел. Следовательно, выражение $x^2 + 3x$ имеет смысл при любом значении $x$.
Область определения — множество всех действительных чисел, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2) $f(x) = \frac{10}{x-1}$
Данная функция является дробно-рациональной. Выражение имеет смысл, когда знаменатель дроби не равен нулю, так как на ноль делить нельзя.
Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль:
$x - 1 = 0$
$x = 1$
Таким образом, функция не определена в точке $x = 1$. Область определения функции — это все действительные числа, кроме 1.
Область определения — $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: для функции $f(x) = x^2 + 3x$ область определения — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$; для функции $f(x) = \frac{10}{x-1}$ область определения — все действительные числа, кроме $1$, то есть $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

в) Функция задана формулой $S = a^2$, где $S$ — площадь квадрата, а $a$ — длина его стороны.
С математической точки зрения, функция $S(a) = a^2$ определена для любого действительного числа $a$. Однако, в данном контексте переменная $a$ имеет физический смысл — это длина стороны квадрата. Длина не может быть отрицательной. Кроме того, для существования невырожденного квадрата его сторона должна иметь положительную длину. Если $a=0$, квадрат вырождается в точку, его площадь $S=0$. Если же речь идет о классическом понимании квадрата как геометрической фигуры, его сторона должна быть строго больше нуля.
Следовательно, область определения для переменной $a$ — это множество всех положительных чисел.

Ответ: $a > 0$, то есть $a \in (0; +\infty)$.