Номер 5.6, страница 215 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.1. Чтение графиков. Глава 5. Функции - номер 5.6, страница 215.

Условие.

а) б)

$h, м$

$t, с$

Рис. 5.10

5.6 Два человека крутят скакалку (рис. 5.10, а). Возьмём одну точку — середину скакалки (точку А) — и будем наблюдать, как меняется её высота над землёй в зависимости от времени. На рисунке 5.10, б изображён график, показывающий эту зависимость. Наблюдаемый нами процесс — периодический. Используя график, ответьте на вопросы:

а) За какое время происходит один полный оборот скакалки?

б) На какой высоте находится точка А через 0,5 с после начала вращения; через 1,25 с; через 2 с?

в) В какие моменты времени точка А находится на высоте 1 м? Назовите все такие моменты, если скакалку продолжают крутить 10 с.

г) В какие моменты времени точка А находится на высоте 2 м над землёй? Сколько раз она окажется на этой высоте, если скакалку крутят 2 мин?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Один полный оборот скакалки соответствует одному полному периоду колебаний точки А. Из графика видно, что движение является периодическим. Один полный цикл начинается в момент времени $t=0$ с, когда высота $h=0$ м, достигает максимума в $t=0,5$ с, и возвращается к высоте $h=0$ м в $t=1$ с. Таким образом, период одного полного оборота составляет 1 секунду. Это также можно увидеть, измерив расстояние между двумя последовательными пиками графика: $1,5 \text{ с} - 0,5 \text{ с} = 1 \text{ с}$.
Ответ: 1 с.

б) Чтобы найти высоту точки А в указанные моменты времени, нужно найти на графике соответствующие значения высоты $h$ для заданных значений времени $t$.
- При $t = 0,5$ с, график достигает своего максимального значения. По оси ординат (высоты) это соответствует $h = 2$ м.
- При $t = 1,25$ с, точка на оси времени находится посередине между $t=1$ с и $t=1,5$ с. Поднявшись от этой точки до графика, мы видим, что соответствующая высота равна $h = 1$ м.
- При $t = 2$ с, график пересекает ось времени, что означает, что высота в этот момент равна $h = 0$ м.
Ответ: через 0,5 с — на высоте 2 м; через 1,25 с — на высоте 1 м; через 2 с — на высоте 0 м.

в) Найдем на графике точки, в которых высота $h = 1$ м. Для этого проведем воображаемую горизонтальную линию на уровне $h = 1$. За один период (1 секунда) эта линия пересекает график дважды. Из графика видно, что первые два пересечения происходят в моменты времени $t = 0,25$ с и $t = 0,75$ с. Поскольку процесс периодический с периодом $T = 1$ с, точка будет оказываться на высоте 1 м в моменты времени, которые повторяются каждые полсекунды, начиная с 0,25 с. То есть, $t = 0,25 + 0,5 \cdot n$, где $n$ — целое неотрицательное число. Нам нужно найти все такие моменты в интервале от 0 до 10 с.
Это будут следующие моменты времени (в секундах):
0,25; 0,75; 1,25; 1,75; 2,25; 2,75; 3,25; 3,75; 4,25; 4,75; 5,25; 5,75; 6,25; 6,75; 7,25; 7,75; 8,25; 8,75; 9,25; 9,75.
Ответ: 0,25 с; 0,75 с; 1,25 с; 1,75 с; 2,25 с; 2,75 с; 3,25 с; 3,75 с; 4,25 с; 4,75 с; 5,25 с; 5,75 с; 6,25 с; 6,75 с; 7,25 с; 7,75 с; 8,25 с; 8,75 с; 9,25 с; 9,75 с.

г) Высота $h = 2$ м является максимальной и достигается в пиках графика. Из графика видно, что это происходит в моменты времени $t = 0,5$ с, $t = 1,5$ с, $t = 2,5$ с и так далее. Общая формула для этих моментов времени: $t = 0,5 + n$, где $n$ — любое целое неотрицательное число ($n = 0, 1, 2, \ldots$).
Теперь определим, сколько раз точка окажется на этой высоте за 2 минуты. Сначала переведем 2 минуты в секунды: $2 \text{ мин} = 2 \times 60 \text{ с} = 120 \text{ с}$.
Поскольку период вращения равен 1 с, и за каждый период точка достигает максимальной высоты один раз, за 120 с она достигнет этой высоты 120 раз. Математически, мы ищем количество целых неотрицательных $n$, для которых $t \le 120$ с:
$0,5 + n \le 120$
$n \le 119,5$
Так как $n$ — целое и неотрицательное, $n$ может принимать значения от 0 до 119. Количество таких значений равно $119 - 0 + 1 = 120$.
Ответ: точка А находится на высоте 2 м в моменты времени $t = 0,5 + n$ (в секундах), где $n$ — целое неотрицательное число ($n = 0, 1, 2, \ldots$). За 2 минуты она окажется на этой высоте 120 раз.