Номер 5.5, страница 214 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.1. Чтение графиков. Глава 5. Функции - номер 5.5, страница 214.

Условие.

5.5 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Андрей и Вадим совершили утреннюю пробежку по одному и тому же маршруту. На рисунке 5.9 изображены графики, показывающие зависимость расстояния $s$, которое пробежал каждый из них, от времени бега $t$. Используя графики, определите, какие из следующих утверждений верны, а какие нет.

1) Длина дистанции 6 км.

2) Андрей и Вадим стартовали одновременно.

3) Вадим перегнал Андрея через 30 мин после своего старта.

4) Андрей догнал Вадима в середине дистанции.

5) Первые 2 км Андрей и Вадим бежали с одинаковой скоростью.

6) Андрей пробежал всю дистанцию на 10 мин быстрее Вадима.

Запишите ещё несколько верных утверждений, описывающих утреннюю пробежку Андрея и Вадима.

$s$, км

Андрей

Вадим

$t$, мин

Рис. 5.9

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Проанализируем данные с графика (Рис. 5.9), где по оси абсцисс отложено время $t$ в минутах, а по оси ординат — расстояние $s$ в километрах.

• Андрей (синяя линия): Стартует в $t=0$ из $s=0$. В момент $t=20$ мин находится на отметке $s=3$ км. Финиширует ($s=6$ км) в момент $t=50$ мин.
• Вадим (черная линия): Стартует в $t=10$ мин из $s=0$. В момент $t=30$ мин находится на отметке $s=2$ км. Финиширует ($s=6$ км) в момент $t=60$ мин.

Теперь проверим каждое утверждение.

1) Длина дистанции 6 км.

Анализируя график, мы видим, что оба графика, и Андрея, и Вадима, заканчиваются на отметке $s=6$ км по вертикальной оси. Это означает, что оба бегуна пробежали одинаковую дистанцию, равную 6 км. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: Верно.

2) Андрей и Вадим стартовали одновременно.

Начало движения каждого бегуна соответствует начальной точке его графика на оси времени $t$. График Андрея начинается в точке $(0; 0)$, что означает, что он стартовал в момент времени $t=0$ мин. График Вадима начинается в точке $(10; 0)$, что означает, что он стартовал в момент времени $t=10$ мин. Так как $0 \neq 10$, они стартовали не одновременно.

Ответ: Неверно.

3) Вадим перегнал Андрея через 30 мин после своего старта.

Вадим стартовал в момент времени $t=10$ мин. 30 минут после его старта соответствуют моменту времени $t = 10 + 30 = 40$ мин. Чтобы определить, перегнал ли Вадим Андрея, нужно сравнить их положения (координату $s$) в этот момент.
Положение Андрея в $t=40$ мин. Его график на интервале $[20, 50]$ является отрезком, соединяющим точки $(20, 3)$ и $(50, 6)$. Его координата: $s_A(40) = 3 + \frac{6-3}{50-20}(40-20) = 3 + \frac{3}{30} \cdot 20 = 5$ км.
Положение Вадима в $t=40$ мин. Его график на интервале $[30, 60]$ является отрезком, соединяющим точки $(30, 2)$ и $(60, 6)$. Его координата: $s_В(40) = 2 + \frac{6-2}{60-30}(40-30) = 2 + \frac{4}{30} \cdot 10 = 2 + \frac{4}{3} = \frac{10}{3} \approx 3.33$ км.
Поскольку $5$ км $> 3.33$ км, Андрей в этот момент был впереди Вадима. Следовательно, Вадим не перегонял Андрея.

Ответ: Неверно.

4) Андрей догнал Вадима в середине дистанции.

Фраза "догнал" предполагает, что Андрей изначально отставал от Вадима. Однако, согласно графикам, Андрей стартовал в $t=0$, а Вадим — в $t=10$ мин. В первые 10 минут бежал только Андрей, поэтому он с самого начала был впереди. На протяжении всей дистанции Андрей опережал Вадима (как показано в анализе пункта 3, график Андрея всегда выше графика Вадима). Таким образом, Андрей не мог догонять Вадима.

Ответ: Неверно.

5) Первые 2 км Андрей и Вадим бежали с одинаковой скоростью.

Скорость можно найти как отношение пройденного расстояния ко времени.
Андрей пробежал первые 3 км за 20 минут. Его скорость на этом участке была постоянной и равнялась $v_A = \frac{3 \text{ км}}{20 \text{ мин}} = 0.15$ км/мин. Эта же скорость была у него и на первых 2 км.
Вадим пробежал первые 2 км за время с $t=10$ мин до $t=30$ мин, то есть за $30-10=20$ минут. Его скорость на этом участке была $v_В = \frac{2 \text{ км}}{20 \text{ мин}} = 0.1$ км/мин.
Поскольку $0.15 \text{ км/мин} \neq 0.1 \text{ км/мин}$, их скорости на первых 2 км были разными.

Ответ: Неверно.

6) Андрей пробежал всю дистанцию на 10 мин быстрее Вадима.

Чтобы проверить это утверждение, нужно найти время, которое каждый из бегунов затратил на всю дистанцию.
Андрей стартовал в $t=0$ мин и финишировал в $t=50$ мин. Его время в пути составило $50 - 0 = 50$ минут.
Вадим стартовал в $t=10$ мин и финишировал в $t=60$ мин. Его время в пути составило $60 - 10 = 50$ минут.
Оба бегуна затратили на дистанцию одинаковое время (50 минут). Андрей не был быстрее Вадима на 10 минут. Стоит отметить, что Андрей финишировал на 10 минут раньше по часам ($t=50$ против $t=60$), но на саму пробежку они потратили одинаковое время.

Ответ: Неверно.

Запишите ещё несколько верных утверждений, описывающих утреннюю пробежку Андрея и Вадима.

1. Вадим начал пробежку на 10 минут позже Андрея.
2. Общее время, затраченное на пробежку, у Андрея и Вадима одинаково и составляет 50 минут.
3. Андрей бежал первую часть дистанции быстрее, чем вторую, а Вадим, наоборот, вторую часть дистанции бежал быстрее, чем первую. (Скорость Андрея: $v_{A1}=0.15$ км/мин, $v_{A2}=0.1$ км/мин. Скорость Вадима: $v_{В1}=0.1$ км/мин, $v_{В2} \approx 0.133$ км/мин).
4. Средняя скорость бегунов на всей дистанции была одинаковой и составила $v_{ср} = \frac{6 \text{ км}}{50 \text{ мин}} = 0.12$ км/мин.

Ответ:
Верные утверждения:
1. Вадим стартовал на 10 минут позже Андрея.
2. Андрей и Вадим пробежали дистанцию за одинаковое время — 50 минут.
3. Андрей на протяжении всей дистанции опережал Вадима.