Номер 5.3, страница 213 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.1. Чтение графиков. Глава 5. Функции - номер 5.3, страница 213.

Условие.

5.3 На рисунках 5.6 и 5.7 изображены два графика. Один из них показывает процесс наполнения бака водой, а другой — процесс вытекания воды из бака.

1) Определите, какой процесс описывает каждый из графиков.

2) По каждому графику ответьте на вопросы:

а) Сколько литров воды было в баке первоначально?

б) Сколько литров воды стало в баке через 1 мин; через 3 мин; через 5 мин?

в) Через сколько минут в баке оказалось 20 л воды?

г) На сколько литров меняется количество воды в баке за 1 мин?

3) Какой процесс протекал быстрее — наполнение бака водой или вытекание воды из бака? Вычислите скорость, с которой вода вливалась в бак; вытекала из бака.

$V$, л

$t$, мин

Рис. 5.6

$V$, л

$t$, мин

Рис. 5.7

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

График на рисунке 5.6 показывает, что с течением времени (ось t) объем воды в баке (ось V) уменьшается. Это значит, что данный график описывает процесс вытекания воды из бака.

График на рисунке 5.7 показывает, что с течением времени объем воды в баке увеличивается. Это значит, что данный график описывает процесс наполнения бака водой.

Ответ: На рисунке 5.6 изображен процесс вытекания воды из бака, а на рисунке 5.7 — процесс наполнения бака водой.

2)

Анализ графика на рис. 5.6 (вытекание воды)

а) В начальный момент времени, при $t=0$, график пересекает ось объема V в точке 50. Следовательно, первоначально в баке было 50 литров воды.

Ответ: Первоначально в баке было 50 л.

б) Из графика видно, что за 10 минут из бака вытекает 50 литров воды. Поскольку график является прямой линией, скорость вытекания постоянна и равна $v = \frac{50 \text{ л}}{10 \text{ мин}} = 5$ л/мин. Объем воды в баке в любой момент времени $t$ можно рассчитать по формуле $V(t) = 50 - 5t$.
Через 1 мин: $V(1) = 50 - 5 \cdot 1 = 45$ л.
Через 3 мин: $V(3) = 50 - 5 \cdot 3 = 35$ л.
Через 5 мин: $V(5) = 50 - 5 \cdot 5 = 25$ л.

Ответ: Через 1 мин в баке стало 45 л, через 3 мин — 35 л, через 5 мин — 25 л.

в) Чтобы найти, через сколько минут в баке окажется 20 л воды, решим уравнение $V(t) = 20$:
$50 - 5t = 20$
$5t = 50 - 20$
$5t = 30$
$t = 6$ мин.

Ответ: 20 л воды в баке оказалось через 6 минут.

г) Изменение количества воды в баке за 1 минуту — это скорость процесса. Как было рассчитано в пункте б), скорость вытекания составляет 5 л/мин. Это означает, что каждую минуту количество воды уменьшается на 5 литров.

Ответ: За 1 минуту количество воды в баке уменьшается на 5 литров.

Анализ графика на рис. 5.7 (наполнение бака)

а) В начальный момент времени ($t=0$) график пересекает ось объема V в точке 10. Следовательно, первоначально в баке уже было 10 литров воды.

Ответ: Первоначально в баке было 10 л.

б) Для определения скорости наполнения возьмем две точки на графике: (0; 10) и (4; 20). За время $\Delta t = 4 - 0 = 4$ мин объем воды увеличился на $\Delta V = 20 - 10 = 10$ л. Скорость наполнения постоянна и равна $v = \frac{\Delta V}{\Delta t} = \frac{10 \text{ л}}{4 \text{ мин}} = 2.5$ л/мин. Объем воды в баке в любой момент времени $t$ можно рассчитать по формуле $V(t) = 10 + 2.5t$.
Через 1 мин: $V(1) = 10 + 2.5 \cdot 1 = 12.5$ л.
Через 3 мин: $V(3) = 10 + 2.5 \cdot 3 = 17.5$ л.
Через 5 мин: $V(5) = 10 + 2.5 \cdot 5 = 22.5$ л.

Ответ: Через 1 мин в баке стало 12.5 л, через 3 мин — 17.5 л, через 5 мин — 22.5 л.

в) Чтобы найти, через сколько минут в баке окажется 20 л воды, решим уравнение $V(t) = 20$:
$10 + 2.5t = 20$
$2.5t = 20 - 10$
$2.5t = 10$
$t = 4$ мин.

Ответ: 20 л воды в баке оказалось через 4 минуты.

г) Изменение количества воды в баке за 1 минуту равно скорости наполнения, которая составляет 2.5 л/мин. Это означает, что каждую минуту количество воды увеличивается на 2.5 литра.

Ответ: За 1 минуту количество воды в баке увеличивается на 2.5 литра.

3)

Чтобы определить, какой процесс протекал быстрее, нужно вычислить и сравнить скорости для каждого процесса.

Скорость вытекания (по графику 5.6):
$v_{выт} = \frac{50 \text{ л}}{10 \text{ мин}} = 5$ л/мин.

Скорость наполнения (по графику 5.7):
$v_{нап} = \frac{20 \text{ л} - 10 \text{ л}}{4 \text{ мин} - 0 \text{ мин}} = \frac{10 \text{ л}}{4 \text{ мин}} = 2.5$ л/мин.

Сравниваем скорости: $5 \text{ л/мин} > 2.5 \text{ л/мин}$. Процесс вытекания воды протекал быстрее, чем процесс наполнения.

Ответ: Быстрее протекал процесс вытекания воды из бака. Скорость вытекания — 5 л/мин, скорость наполнения — 2.5 л/мин.